여인수(cofactor)와 행렬의 adjoint

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cofactor와 행렬의 adjoint

개요

정방행렬 $A=(a_{ij})$ 에서 i행과 j열을 지워얻어진 정방행렬의 행렬식을 $b_{ij}$ 라 하자. $c_{ij}=(-1)^{i+j}b_{ij}$ 를 (i,j)-cofactor 라 한다
cofactor 들로 주어진 행렬 $(c_{ij})$ 의 transpose 를 행렬 A 의 adjoint (또는 adjugate) 이라 한다

$\left( \begin{array}{cc} a & b \ c & d \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc} d & -b \ -c & a \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right)$ 의 adjoint

$\left( \begin{array}{ccc} -a_{2,3} a_{3,2}+a_{2,2} a_{3,3} & a_{1,3} a_{3,2}-a_{1,2} a_{3,3} & -a_{1,3} a_{2,2}+a_{1,2} a_{2,3} \ a_{2,3} a_{3,1}-a_{2,1} a_{3,3} & -a_{1,3} a_{3,1}+a_{1,1} a_{3,3} & a_{1,3} a_{2,1}-a_{1,1} a_{2,3} \ -a_{2,2} a_{3,1}+a_{2,1} a_{3,2} & a_{1,2} a_{3,1}-a_{1,1} a_{3,2} & -a_{1,2} a_{2,1}+a_{1,1} a_{2,2} \end{array} \right)$

예

$\left( \begin{array}{ccccc} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right)$ 의 adjoint