가우스의 보조정리(Gauss's lemma)

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가우스의 보조정리(Gauss's lemma)

개요

이차잉여의 이론에서 중요한 역할
홀수인 소수 p에 대하여, $a\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$

$\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n$ 이 성립한다

여기서 n은 $a, 2a, 3a, \dots, \frac{p-1}{2}a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ 의 값을 $\{1,2,\cdots,p-1\}$ 에서 고려할때, p/2보다 큰 경우의 수

최대정수함수를 이용한 표현

홀수인 소수 p에 대하여, 일 때,

$\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n$ 이고, 여기서 $n=\sum_{j=1}^{(p-1)/2}[\frac{ja}{p}]$ . [ ]는 최대정수함수 (가우스함수)

아이젠슈타인

$\left(\frac{a}{p}\right)=\prod_{n=1}^{(p-1)/2}\frac{\sin{(2\pi an/p)}}{\sin{(2\pi n/p)}}$

역사

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