이항계수의 반전공식

이 항목의 수학노트 원문주소

개요

$k=0,1,\cdots, n$ 에 대하여, $a_0,\cdots,a_n$ 과 $b_0,\cdots,b_n$ 이 다음 관계를 만족시킨다고 하자.

$a_k=\sum_{i=0}^{k}{k\choose i}b_i$

그러면

$b_k=\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k\choose i}a_i$ 가 성립한다.
원소의 개수가 n인 집합 E의 부분집합들이 이루는 poset 에 대해 뫼비우스 반전공식 을 적용한 것으로 이해할 수 있다
- 이 때 뫼비우스 함수는 $\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}$ 으로 주어진다

행렬을 통한 이해

n=5 인 경우

$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0 \ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{array} \right)$ 의 역행렬은

$\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \ -1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0 \ 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0 \ -1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1 \end{array} \right)$ 이다.

$\sum_{k=m}^n (-1)^{k-m} \binom{k}{m} \binom{n}{k} = \delta_{mn}$

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

http://math.stackexchange.com/questions/55659/combinatorial-interpretation-of-binomial-inversion
http://math.stackexchange.com/questions/4175/beautiful-identity-sum-k-mn-1k-m-binomkm-binomnk-delta
Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

수학용어번역

단어사전
- http://translate.google.com/#en|ko|
- http://ko.wiktionary.org/wiki/
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
남·북한수학용어비교
대한수학회 수학용어한글화 게시판

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
The Online Encyclopaedia of Mathematics
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The World of Mathematical Equations

리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문

http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://www.ams.org/mathscinet
http://dx.doi.org/

관련도서

도서내검색
- http://books.google.com/books?q=
- http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=