뫼비우스 반전공식

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

뫼비우스 함수

 

 

 

뫼비우스 반전공식

 

 

 

응용

 

 

포함과 배제의 원리

집합 A의 부분집합 A_i에 대하여 다음이 성립한다.

\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| & {} =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|

 

 

\{1,2,\cdots,n\} 의 부분집합과 포함관계에 대한 poset 을 생각하자. 뫼비우스 함수는 \mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|} 로 주어진다.

 

f(V)=|\underset{i\in V}{\cap }A_i|

g(V)=\left|\left\{a\in A \left| a\in A_i\forall i\in V\right.; a\notin A_j\forall j\notin V\right\}\right|

f(V)=\sum _{V\subseteq T} g(T) 이 성립한다.

뫼비우스 반전공식(쌍대)을 적용하면, 다음을 얻는다.

|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=g(\emptyset)=\sum _{\emptyset\subseteq T}\mu(\emptyset,T)f(T)=\sum _{T}(-1)^{|T|} f(T)

즉

|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=|A|-(\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|)

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서