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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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포함과 배제의 원리

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • |A\cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|
  • |A\cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |B\cap C| - |C\cap A| + |A\cap B\cap C|

  • 일반적으로 집합 A의 부분집합 A_i에 대하여, 다음이 성립한다.

    \biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| & {} =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|

 

증명
  • 집합 A의 부분집합 A_i에 대하여, 다음이 성립한다

\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| & {} =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|

(증명)

a\in \bigcup_{i=1}^n A_i 가 A_i 들 중 k 개의 집합에 속해 있으면, a 는 우변을 통하여 \sum _{l=1}^k (-1)^{l-1} \binom{k}{l}=1 번 세어지게 된다. ■

 

|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=|A|-(\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|)

로 표현되기도 한다

 

응용

 

 

역사

 

 

 

메모

 

  • Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

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Last edited on 01/04/2012 15:06 by 피타고라스

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