포함과 배제의 원리

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포함과 배제의 원리

개요

$|A\cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
$|A\cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |B\cap C| - |C\cap A| + |A\cap B\cap C|$
일반적으로 집합 A의 부분집합 에 대하여, 다음이 성립한다.

$\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| & {} =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|$

뫼비우스 반전공식 의 특별한 경우로 이해할 수 있다

증명

집합 A의 부분집합 에 대하여, 다음이 성립한다

$\biggl|\bigcup_{i=1}^n A_i\biggr| & {} =\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|$

(증명)

$a\in \bigcup_{i=1}^n A_i$ 가 A_i 들 중 k 개의 집합에 속해 있으면, a 는 우변을 통하여 $\sum _{l=1}^k (-1)^{l-1} \binom{k}{l}=1$ 번 세어지게 된다. ■

$|A-\underset{i\in {1,2,\cdots,n}}{\cup }A_i|=|A|-(\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{i,j\,:\,1 \le i < j \le n}\left|A_i\cap A_j\right| +\sum_{i,j,k\,:\,1 \le i < j < k \le n}\left|A_i\cap A_j\cap A_k\right|-\ \cdots\ + \left(-1\right)^{n-1} \left|A_1\cap\cdots\cap A_n\right|)$

로 표현되기도 한다

응용

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

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- http://ko.wiktionary.org/wiki/
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