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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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사인-고든 방정식

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

  • 사인-고든 방정식

    u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0

  • 양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음

    (\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0

  • 다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐

    • kink, antikink
    • kink-kink
    • kink-antikink
    • breather

 

 

오일러-라그랑지 방정식

 

 

Light cone 좌표계

  • 변수 \xi=\frac{t+x}{2}, \eta=\frac{-t+x}{2}  를 도입하면, 사인-고든 방정식은

    u_{\xi\eta}=\sin u 로 쓰여진다

 

 

Bäcklund 변환

  • 함수 u가 사인-고든 방정식 u_{\xi\eta}=\sin u의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자

    \begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!

  • 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다

  • 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right) 를 얻을 수 있다

    a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}} 로 두면, 4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]

 

 

traveling wave solution
  • u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0
  • u(x,t)=f(x-vt) 라 두자.
  • u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 v^2f''-f''+\sin f=0 를 만족시켜야 한다.

  • 적분하면 다음을 얻는다.

    \frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a

  • z\to \infty 일 때, f(z)\to 0 와  f'(z) \to 0 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다

    (f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)

  • 이 상미분방정식의 해는

    u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]

 

 

솔리톤 해의 예

  • kink (soliton)

    u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]

  • antikink (anti-soliton)

    u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]

  • kink-kink collison [PS1962]

    u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]

  • kink-antikink (particle-antiparticle) collison [PS1962]

    u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]

  • Breather = coupled kink-antikink

    4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)

    \omega=1/{\sqrt{2}} 인 경우

    4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)

 

 

히로타 bilinear method

u(x,t)=4\arctan [\frac{F(x)}{G(t)}]

 

 

역사

 

 

 

메모
  • Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

 

 

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관련논문
  • Classical and quantum kink scattering http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(93)90243-I
  • Hirota, Ryogo. 1977. “Nonlinear Partial Difference Equations III; Discrete Sine-Gordon Equation”. Journal of the Physical Society of Japan 43: 2079-2086. doi:10.1143/JPSJ.43.2079
  • Hirota, Ryogo. 1972. “Exact Solution of the Sine-Gordon Equation for Multiple Collisions of Solitons”. Journal of the Physical Society of Japan 33: 1459-1463. doi:10.1143/JPSJ.33.1459
  • [PS1962]A model unified field equation J. K. Perring and T. H. R. Skyrme, Nuclear Physics Volume 31, March-April 1962, Pages 550-555

 

 

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