사인-고든 방정식

사인-고든 방정식

$u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0$
양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음

$(\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0$
다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐
- kink, antikink
- kink-kink
- kink-antikink
- breather

라그랑지안 $\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi$ 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식

$\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0$ 을 적용하여 얻어진다

변수 $\xi=\frac{t+x}{2}$ , $\eta=\frac{-t+x}{2}$ 를 도입하면, 사인-고든 방정식은

$u_{\xi\eta}=\sin u$ 로 쓰여진다

함수 u가 사인-고든 방정식 $u_{\xi\eta}=\sin u$ 의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자

$\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!$
함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
해 u=0 에 이 변환을 적용하면, $v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)$ 를 얻을 수 있다

$a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}$ 로 두면, $4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]$

$u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0$
라 두자.
u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 $v^2f''-f''+\sin f=0$ 를 만족시켜야 한다.
적분하면 다음을 얻는다.

$\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a$
$z\to \infty$ 일 때, $f(z)\to 0$ 와 $f'(z) \to 0$ 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다

$(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)$
이 상미분방정식의 해는

$u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]$

kink (soliton)

$u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]$
antikink (anti-soliton)

$u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]$
kink-kink collison [PS1962]

$u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]$
kink-antikink (particle-antiparticle) collison [PS1962]

$u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]$