맥스웰 방정식과 미분형식

electromagnetic field strength

$F=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \ \frac{E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \ \frac{E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \ \frac{E_z}{c} & B_y & -B_x & 0 \end{array} \right)$
다음과 같은 미분형식으로 이해할 수 있음

$F=\frac{1}{2}F_{\alpha \beta}dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta}$

$F=E_1 d x_1\wedge d t+B_3 d x_1\wedge d x_2+E_2 d x_2\wedge d t+B_1 d x_2\wedge d x_3+E_3 d x_3\wedge d t+B_2 d x_3\wedge d x_1$
맥스웰방정식은 미분형식 F 에 대한 exterior derivative가 만족시키는 방정식으로 이해할 수 있다
이차미분형식으로서 로렌츠 불변이다

$F'=E'_1 d x'_1\wedge d t'+B'_3 d x'_1\wedge d x'_2+E'_2 d x'_2\wedge d t'+B'_1 d x'_2\wedge d x'_3+E'_3 d x'_3\wedge d t'+B'_2 d x'_3\wedge d x'_1=F$

$(A_{\alpha})= \left( - \phi, \mathbf{A} \right)=(-\phi,A_{x},A_{y},A_{z})$

$\phi$ 스칼라 포텐셜

$\mathbf{A}$ 벡터 포텐셜
1-미분형식으로서, $A=-\phi dt+A_{1}dx^{1}+A_{2}dx^{2}+A_{3}dx^{3}$
로부터 를 얻는다

전하 밀도 ${\rho}$ (for point charge, density will be a Dirac delta function)
전류 밀도 $\mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z)$
전류 4-vector

$(J^a) = \left( \rho, \mathbf{J} \right)$
가우스법칙과 앙페르-패러데이 법칙에 나타남

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}$

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\$
four vector is called a conserved current if $\partial_{a}J^{a}=0$
미분형식으로 표현하면,
- 1-form $J=-\rho dt +J_{x}dx+J_{y}dy+J_{z}dz$
- dual 3-form $\star J=\rho dx\wedge dy \wedge dz -J_{x}dy\wedge dz\wedge dt-J_{y}dz\wedge dx\wedge dt- J_{z}dx\wedge dy \wedge dt$

맥스웰 방정식 을 미분형식의 언어를 통하여 다음과 같이 쓸 수 있다

( $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ , $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ )

$d{\star F}=\star J$ ( $\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}$ , $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\$ )