상수곡률곡면과 사인-고든 방정식

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상수곡률곡면과 사인-고든 방정식

개요

곡면의 제1기본형식이 다음과 같이 주어지는 경우

, $F=\cos (\phi (x,t))$ ,
가우스 곡률 이 이 되도록 하는, 함수 $\phi (x,t)$ 를 찾는 문제
함수 $\phi (x,t)$ 가 사인-고든 방정식 을 만족시키는 경우, 상수곡률곡면을 얻는다

크리스토펠 기호

$\begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & \phi ^{(1,0)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \ \Gamma _{12}^1 & 0 \ \Gamma _{21}^1 & 0 \ \Gamma _{22}^1 & \phi ^{(0,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \ \Gamma _{11}^2 & \phi ^{(1,0)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \ \Gamma _{12}^2 & 0 \ \Gamma _{21}^2 & 0 \ \Gamma _{22}^2 & \phi ^{(0,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array}$

리만 텐서

$\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_{111}^1 & 0 \ R_{112}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \ R_{122}^1 & 0 \end{array} \ \begin{array}{ll} R_{211}^1 & 0 \ R_{212}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^1 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \ R_{222}^1 & 0 \end{array} \ \begin{array}{ll} R_{111}^2 & 0 \ R_{112}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \csc (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{121}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\csc (\phi (x,t))) \ R_{122}^2 & 0 \end{array} \ \begin{array}{ll} R_{211}^2 & 0 \ R_{212}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) \cot (\phi (x,t)) \end{array} & \begin{array}{ll} R_{221}^2 & \phi ^{(1,1)}(x,t) (-\cot (\phi (x,t))) \ R_{222}^2 & 0 \end{array} \end{array}$