선형대수학

1932518 선형대수학 1946966 2010-01-17T10:57:07Z http://pythagoras0.springnote.com/pages/1932518 2008-10-15T09:39:10Z <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> <ul> <li><a href="/pages/1932518" class="wiki" title="선형대수학">선형대수학</a></li> </ul> <p> </p> <p> </p> <h5>개요</h5> <ul> <li>고등학교에서 배우는 3차원 공간벡터의 성질들을 추상화하여, 일반적인 벡터공간을 정의하고, 그 공간들 사이의 함수가 되는 선형사상 및 행렬을 공부함.</li> <li>선형사상과 행렬의 대비 및 둘 사이의 긴장감을 공부함.</li> <li> <p>수학에서 많이 사용되는 언어를 익히는 부분과, 일차방정식의 해, 정방행렬의 분류와 같은 선형대수학 자체의 문제로 볼 수 있는 부분이 섞여 있음.</p> <p> </p> </li> </ul> <h5>다루는 대상</h5> <ul> <li>벡터, 벡터공간, 행렬, 선형사상</li> </ul> <p> </p> <h5>중요한 개념 및 정리</h5> <ul> <li> <p>벡터공간</p> <ul> <li>스칼라와 벡터</li> <li>선형대수학 = 체의 모듈 이론</li> </ul> </li> <li>선형사상</li> <li> <p>행렬 </p> <ul> <li>선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어</li> </ul> </li> <li> <p>연립방정식 풀기</p> <ul> <li>row reduction 을 통한 해 구하기</li> <li>역행렬을 통한 해 구하기</li> <li>LU 분해, LDU 분해, PLU 분해. …</li> </ul> </li> <li> <p>Fundamental spaces of a matrix</p> <ul> <li>열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간</li> </ul> </li> <li>Dimension 정리</li> <li>행렬식</li> <li>고유값, 고유벡터, 대각화</li> <li> <p>선형 사상의 분해 또는 Jordan canonical form 에 따른 n x n 행렬의 분류</p> <ul> <li>대각화의 일반화</li> <li>Principal Ideal Domain의 module theory의 관점에서 바라볼 수 있음.</li> </ul> </li> <li> <p>내적공간</p> <ul> <li>거리와 각도를 잴 수 있는 벡터공간</li> </ul> </li> </ul> <p> </p> <p><img class="equation" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cmathbf%7BX%7D%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dx_%7B11%7D%20%26%20x_%7B12%7D%20%26%20%5Cldots%20%5C%5Cx_%7B21%7D%20%26%20x_%7B22%7D%20%26%20%5Cldots%20%5C%5C%5Cvdots%20%26%20%5Cvdots%20%26%20%5Cddots%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright%29" alt="\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccc}x_{11} & x_{12} & \ldots \\x_{21} & x_{22} & \ldots \\\vdots & \vdots & \ddots\end{array} \right)" /></p> <p><img class="equation" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5CLarge%20A%5C%20%3D%5C%20%5Clarge%5Cleft%28%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc.cccc%7D%261%262%26%5Ccdots%26n%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Chdash1%26a_%7B11%7D%26a_%7B12%7D%26%5Ccdots%26a_%7B1n%7D%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%202%26a_%7B21%7D%26a_%7B22%7D%26%5Ccdots%26a_%7B2n%7D%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5Cddots%26%5Cvdots%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20n%26a_%7Bn1%7D%26a_%7Bn2%7D%26%5Ccdots%26a_%7Bnn%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29" alt="\Large A\ =\ \large\left( \begin{array}{c.cccc}&1&2&\cdots&n\\ \hdash1&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 2&a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ n&a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right)" /></p> <p> </p> <p><img class="attachment" title="" src="http://bomber0.byus.net/mimetex/mimetex.cgi?%5Cnormalsize%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft%28%5Clarge%5Cbegin%7Barray%7D%7BGC+23%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvarepsilon_x%5C%5C%5Cvarepsilon_y%5C%5C%5Cvarepsilon_z%5C%5C%5Cgamma_%7Bxy%7D%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cgamma_%7Bxz%7D%5C%5C%5Cgamma_%7Byz%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%5C%20%7B%5CLarge=%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7BCC%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%5Cfrac1%7BE_%7B%5Cfs%7B+1%7Dx%7D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20&-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7Bxy%7D%7D%7BE_%7B%5Cfs%7B+1%7Dx%7D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20&-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7B%5Cfs%7B+1%7Dxz%7D%7D%7BE_%7B%5Cfs%7B+1%7Dx%7D%7D%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7Byx%7D%7D%7BE_y%7D&%5Cfrac1%7BE_%7By%7D%7D&-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7Byz%7D%7D%7BE_y%7D%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7B%5Cfs%7B+1%7Dzx%7D%7D%7BE_%7B%5Cfs%7B+1%7Dz%7D%7D&%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7Bzy%7D%7D%7BE_%7B%5Cfs%7B+1%7Dz%7D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20&%5Cfrac1%7BE_%7B%5Cfs%7B+1%7Dz%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%20&%20%7B%5CLARGE%200%7D%20%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%5CLARGE%200%7D%20&%20%5Cbegin%7Barray%7D%5Cfrac1%7BG_%7Bxy%7D%7D&&%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20&%5Cfrac1%7BG_%7B%5Cfs%7B+1%7Dxz%7D%7D&%5C%5C&&%5Cfrac1%7BG_%7Byz%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%20%5Cleft%28%5Clarge%5Cbegin%7Barray%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csigma_x%5C%5C%5Csigma_y%5C%5C%5Csigma_z%5C%5C%5Ctau_%7Bxy%7D%5C%5C%5Ctau_%7Bxz%7D%5C%5C%5Ctau_%7Byz%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29" alt="" style="border-style: none; border-width: 0px; line-height: 2em;" /></p> <p><img class="equation" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%5Cnormalsize%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft%28%5Clarge%5Cbegin%7Barray%7D%7BGC%2B23%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvarepsilon_x%5C%5C%5Cvarepsilon_y%5C%5C%5Cvarepsilon_z%5C%5C%5Cgamma_%7Bxy%7D%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cgamma_%7Bxz%7D%5C%5C%5Cgamma_%7Byz%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%5C%20%7B%5CLarge%3D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7BCC%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%5Cfrac1%7BE_%7B%5Cfs%7B%2B1%7Dx%7D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7Bxy%7D%7D%7BE_%7B%5Cfs%7B%2B1%7Dx%7D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7B%5Cfs%7B%2B1%7Dxz%7D%7D%7BE_%7B%5Cfs%7B%2B1%7Dx%7D%7D%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7Byx%7D%7D%7BE_y%7D%26%5Cfrac1%7BE_%7By%7D%7D%26-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7Byz%7D%7D%7BE_y%7D%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7B%5Cfs%7B%2B1%7Dzx%7D%7D%7BE_%7B%5Cfs%7B%2B1%7Dz%7D%7D%26%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%5Cfrac%7B%5Cnu_%7Bzy%7D%7D%7BE_%7B%5Cfs%7B%2B1%7Dz%7D%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%5Cfrac1%7BE_%7B%5Cfs%7B%2B1%7Dz%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%20%26%20%7B%5CLARGE%200%7D%20%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%5CLARGE%200%7D%20%26%20%5Cbegin%7Barray%7D%5Cfrac1%7BG_%7Bxy%7D%7D%26%26%5C%5C%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%5Cfrac1%7BG_%7B%5Cfs%7B%2B1%7Dxz%7D%7D%26%5C%5C%26%26%5Cfrac1%7BG_%7Byz%7D%7D%5Cend%7Barray%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%20%5Cleft%28%5Clarge%5Cbegin%7Barray%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csigma_x%5C%5C%5Csigma_y%5C%5C%5Csigma_z%5C%5C%5Ctau_%7Bxy%7D%5C%5C%5Ctau_%7Bxz%7D%5C%5C%5Ctau_%7Byz%7D%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29" alt="\normalsize \left(\large\begin{array}{GC+23} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\varepsilon_z\\\gamma_{xy}\\ \gamma_{xz}\\\gamma_{yz}\end{array}\right)\ {\Large=} \ \left[\begin{array}{CC} \begin{array}\frac1{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{xy}}{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{\fs{+1}xz}}{E_{\fs{+1}x}}\\ -\frac{\nu_{yx}}{E_y}&\frac1{E_{y}}&-\frac{\nu_{yz}}{E_y}\\ -\frac{\nu_{\fs{+1}zx}}{E_{\fs{+1}z}}& -\frac{\nu_{zy}}{E_{\fs{+1}z}} &\frac1{E_{\fs{+1}z}}\end{array} & {\LARGE 0} \\ {\LARGE 0} & \begin{array}\frac1{G_{xy}}&&\\ &\frac1{G_{\fs{+1}xz}}&\\&&\frac1{G_{yz}}\end{array} \end{array}\right] \ \left(\large\begin{array} \sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_z\\\tau_{xy}\\\tau_{xz}\\\tau_{yz} \end{array}\right)" /></p> <p> </p> <p> </p> <h5>유명한 정리 혹은 재미있는 문제</h5> <ul> <li> <p>케일리-해밀턴 정리</p> <p> </p> </li> </ul> <h5>선수 과목</h5> <ul> <li>대학과정에서 요구되는 선수 과목은 없음.</li> <li> <p>고교 수학의 행렬, 일차변환에의 익숙함은 도움이 됨.</p> <p> </p> </li> </ul> <h5>다른 과목과의 관련성</h5> <ul> <li><a href="/pages/1942998" title="다변수미적분학" class="wiki">다변수미적분학</a></li> <li><a href="/pages/1953166" title="상미분방정식" class="wiki">상미분방정식</a></li> <li> <p>해석학 </p> <ul> <li>내적공간의 개념은 해석학 과목에서 푸리에 시리즈를 공부할 때 필요함.</li> <li>해석학에서 유용한 개념인 힐버트 공간은 선형대수학의 내적공간의 개념을 요청함.</li> </ul> </li> <li> <p>양자역학</p> <ul> <li>양자역학은 힐버트 공간의 벡터와 그에 작용하는 Hermitian operator의 언어로 기술됨.</li> </ul> </li> </ul> <p> </p> <p> </p> <h5>관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들</h5> <ul> <li><a href="/pages/1944496" class="wiki" title="Multilinear algebra와 미분형식 (differential forms)">Multilinear algebra</a></li> <li> <p><a href="/pages/1951072" title="코딩이론" class="wiki">코딩이론</a></p> <ul> <li>선형대수를 처음 배울 때는, 보통 스칼라로 사용하는 체를 실수 혹은 복소수로 생각하게 됨.</li> <li>코딩이론은 유한체 위에서 행해지는 선형대수학</li> </ul> </li> <li> <p><a href="/pages/1951990" class="wiki" title="이차형식">이차형식</a></p> <ul> <li> <p>내적공간의 일반화로서, 좀더 일반적인 symmetric bilinear form 이 주어져 있는 벡터공간, 즉 quadratic space 에 대한 공부는 이차형식의 영역으로 안내.</p> </li> </ul> </li> <li><a href="/pages/3155006" title="유한군의 표현론" class="wiki">유한군의 표현론</a></li> <li>리대수와 표현론</li> </ul> <p> </p> <p> </p> <h5>메모</h5> <ul> <li>principal axis theorem</li> </ul> <p> </p> <p> </p> <h5>관련된 항목들</h5> <ul> <li><a href="/pages/4909487" class="wiki" title="선형대수학의 토픽들">선형대수학의 토픽들</a></li> </ul> <p> </p> <h5>관련논문</h5> <ul> <li class="title"> <p><a href="http://www.jstor.org/stable/2686426" title="http://www.jstor.org/stable/2686426" class="external">The Growing Importance of Linear Algebra in Undergraduate Mathematics</a></p> <ul> <li class="author">Alan Tucker, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 3-9</li> </ul> </li> </ul> <ul id="journalInfo"> <li class="title"> <p><a href="http://www.jstor.org/stable/2320145" title="http://www.jstor.org/stable/2320145" class="external">Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra</a></p> <ul> <li class="author">Desmond Fearnley-Sander, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 86, No. 10 (Dec., 1979), pp. 809-817</li> </ul> </li> <li class="title"> <p><a href="http://www.jstor.org/stable/2686430" class="external" title="http://www.jstor.org/stable/2686430">The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra</a></p> <ul> <li class="author">David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay and A. Duane Porter, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 41-46</li> </ul> </li> <li class="title"> <p><a href="http://www.jstor.org/stable/3026998" class="external" title="http://www.jstor.org/stable/3026998">Linear Algebra, a Potent Tool</a></p> <ul> <li class="author">Anneli Lax, <cite>The Two-Year College Mathematics Journal</cite>, Vol. 7, No. 2 (May, 1976), pp. 3-15</li> </ul> </li> <li class="title"> <p><a href="http://www.jstor.org/stable/3620391" title="http://www.jstor.org/stable/3620391" class="external">A Gemstone in Matrix Algebra</a></p> <ul> <li class="author">Tony Crill, <cite>The Mathematical Gazette</cite>, Vol. 76, No. 475, The Use of the History of Mathematics in the Teaching of Mathematics (Mar., 1992), pp. 182-188</li> </ul> </li> <li class="title"> <p><a href="http://www.jstor.org/stable/2322413" class="external" title="http://www.jstor.org/stable/2322413">Gauss-Jordan Reduction: A Brief History</a></p> <ul> <li class="author">Steven C. Althoen and Renate McLaughlin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 94, No. 2 (Feb., 1987), pp. 130-142</li> </ul> </li> </ul> http://bomber0.myid.net/ http://bomber0.myid.net/ 147 선형대수학