선형대수학

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선형대수학

개요

고등학교에서 배우는 3차원 공간벡터의 성질들을 추상화하여, 일반적인 벡터공간을 정의하고, 그 공간들 사이의 함수가 되는 선형사상 및 행렬을 공부함.
선형사상과 행렬의 대비 및 둘 사이의 긴장감을 공부함.
수학에서 많이 사용되는 언어를 익히는 부분과, 일차방정식의 해, 정방행렬의 분류와 같은 선형대수학 자체의 문제로 볼 수 있는 부분이 섞여 있음.

다루는 대상

벡터, 벡터공간, 행렬, 선형사상

중요한 개념 및 정리

벡터공간
- 스칼라와 벡터
- 선형대수학 = 체의 모듈 이론
선형사상
행렬
- 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어
연립방정식 풀기
- row reduction 을 통한 해 구하기
- 역행렬을 통한 해 구하기
- LU 분해, LDU 분해, PLU 분해. …
Fundamental spaces of a matrix
- 열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간
Dimension 정리
행렬식
고유값, 고유벡터, 대각화
선형 사상의 분해 또는 Jordan canonical form 에 따른 n x n 행렬의 분류
- 대각화의 일반화
- Principal Ideal Domain의 module theory의 관점에서 바라볼 수 있음.
내적공간
- 거리와 각도를 잴 수 있는 벡터공간

$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccc}x_{11} & x_{12} & \ldots \\x_{21} & x_{22} & \ldots \\\vdots & \vdots & \ddots\end{array} \right)$

$\Large A\ =\ \large\left( \begin{array}{c.cccc}&1&2&\cdots&n\\ \hdash1&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 2&a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ n&a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right)$

$\left(\large\begin{array}{GC+23} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\varepsilon_z\\\gamma_{xy}\\ \gamma_{xz}\\\gamma_{yz}\end{array}\right)\ {\Large=} \ \left[\begin{array}{CC} \begin{array}\frac1{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{xy}}{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{\fs{+1}xz}}{E_{\fs{+1}x}}\\ -\frac{\nu_{yx}}{E_y}&\frac1{E_{y}}&-\frac{\nu_{yz}}{E_y}\\ -\frac{\nu_{\fs{+1}zx}}{E_{\fs{+1}z}}& -\frac{\nu_{zy}}{E_{\fs{+1}z}} &\frac1{E_{\fs{+1}z}}\end{array} & {\LARGE 0} \\ {\LARGE 0} & \begin{array}\frac1{G_{xy}}&&\\ &\frac1{G_{\fs{+1}xz}}&\\&&\frac1{G_{yz}}\end{array} \end{array}\right] \ \left(\large\begin{array} \sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_z\\\tau_{xy}\\\tau_{xz}\\\tau_{yz} \end{array}\right)$

$\normalsize \left(\large\begin{array}{GC+23} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\varepsilon_z\\\gamma_{xy}\\ \gamma_{xz}\\\gamma_{yz}\end{array}\right)\ {\Large=} \ \left[\begin{array}{CC} \begin{array}\frac1{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{xy}}{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{\fs{+1}xz}}{E_{\fs{+1}x}}\\ -\frac{\nu_{yx}}{E_y}&\frac1{E_{y}}&-\frac{\nu_{yz}}{E_y}\\ -\frac{\nu_{\fs{+1}zx}}{E_{\fs{+1}z}}& -\frac{\nu_{zy}}{E_{\fs{+1}z}} &\frac1{E_{\fs{+1}z}}\end{array} & {\LARGE 0} \\ {\LARGE 0} & \begin{array}\frac1{G_{xy}}&&\\ &\frac1{G_{\fs{+1}xz}}&\\&&\frac1{G_{yz}}\end{array} \end{array}\right] \ \left(\large\begin{array} \sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_z\\\tau_{xy}\\\tau_{xz}\\\tau_{yz} \end{array}\right)$

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

케일리-해밀턴 정리

선수 과목

대학과정에서 요구되는 선수 과목은 없음.
고교 수학의 행렬, 일차변환에의 익숙함은 도움이 됨.

다른 과목과의 관련성

다변수미적분학
상미분방정식
해석학
- 내적공간의 개념은 해석학 과목에서 푸리에 시리즈를 공부할 때 필요함.
- 해석학에서 유용한 개념인 힐버트 공간은 선형대수학의 내적공간의 개념을 요청함.
양자역학
- 양자역학은 힐버트 공간의 벡터와 그에 작용하는 Hermitian operator의 언어로 기술됨.

메모

principal axis theorem