1,2,4,8 과 1,3,7

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1,2,4,8 과 1,3,7

개요

$\mathbb R^n$ 은 division algebra이다 $\iff$
는 H-space 이다. $\iff$
은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 $\iff$
fiber 번들 $S^p \to S^q \to S^r$ 이 존재한다. $\iff$

프로베니우스의 정리

실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 division algebra
프로베니우스의 정리

실수체 $\Bbb{R}$ 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 나눗셈대수(division algebra)는 실수 $\Bbb{R}$ , 복소수 $\Bbb{C}$ , 사원수 $\Bbb{H}$ 뿐이다

composition 대수에 관한 후르비츠의 정리

체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 $1\cdot x = x \cdot 1= x$ 을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
후르비츠의 정리

실수체 $\Bbb{R}$ 위에 정의된 composition 대수는 실수 $\Bbb{R}$ , 복소수 $\Bbb{C}$ , 사원수 $\Bbb{H}$ , 팔원수 $\Bbb{O}$ 뿐이다.

실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의

$\|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|$
normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다

관련된 고교수학 또는 대학수학

복소수
외적
사원수

관련된 항목들

해밀턴의 사원수
Parallelizability of Spheres
호프 fibrations

수학용어번역

관련도서

General Cohomology Theory and K-Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series) (Paperback)
- P. J. Hilton
On Quaternions and Octonions
- John H. Conway, Derek A. Smith, A.K. Peters, 2003.
Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics
- Geoffrey Dixon, July 1994
Vector Bundles & K-Theory
- Allen Hatcher
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사전형태의 자료

관련논문

An Elementary Introduction to the Hopf Fibration
- David W. Lyons, Mathematics Magazine Vol. 76, No. 2 (Apr., 2003), pp. 87-98
The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces
- Bertram Walsh, The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194

The four and eight square problem and division algebras
- CW Curtis, in MAA Studies in Modern Algebra Vol.2, (ed. AA Albert), pp. 100- 125
Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces
- W. S. Massey, The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One
- J. F. Adams, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 72, No. 1 (Jul., 1960), pp. 20-104
The Octonions
- John Baez, AMS 2001

The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space
- Kenneth O. May, The American Mathematical Monthly, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289-291

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