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산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산

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개요
  • 산술기하평균함수(AGM, arithmetic-geometric mean)을 활용하여 파이값을 빠르게 계산할 수 있는 알고리즘

 

 

타원적분

K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}

K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}

k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}

K'(k) = K(k')

E'(k) = E(k')

 

 

타원적분에 대한 르장드르 항등식
  • 르장드르 항등식

E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}

  • 특별히 다음과 같은 관계가 성립함

2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}

 

 

산술기하평균함수

  • 양수 k가 주어졌을 때, 산술기하평균을 이용하여 다음과 같이 두 수열을 정의할 수 있다

    a_0=1, b_0=\frac{1}{\sqrt{2}},  a_{n+1}={a_n+b_n \over 2},  b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}

  • 두 수열 a_n과 b_n은 같은 수로 수렴한다
  • 이 수렴값 M(k)를 이용하여 정의된 함수 M을 산술기하평균함수라 하자

 

 

렘니스케이트 곡선과 파이

 

 

타원적분과 AGM의 관계

K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}

특별히, K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}

  • AGM 수열과 타원적분

     a_{n+1}={a_n+b_n \over 2},  b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n} , a_0=1, b_0=\frac{1}{\sqrt{2}} ,  c_{i+1} = a_i - a_{i+1}

\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E}{K}

 

 

가우스-살라민 알고리즘

다음과 같이 수열 a_n,b_n,c_n,\pi_n을 정의하자.

a_0=1, b_0=\frac{1}{\sqrt{2}}

c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}=\frac{c_{n-1}^2}{4a_n}

\pi_n=\frac{2a_{n+1}^2}{1-\sum_{k=0}^{n} 2^kc_k^2}

수열 \pi_n은 \pi로 수렴한다.

(증명)

M=M(1,1/\sqrt{2}), K=K(1/\sqrt{2}), E=E(1/\sqrt{2})로 두면,

2KE-K^2=\frac{\pi}{2} 즉, \frac{2E}{K}-1=\frac{\pi}{2K^2}

2MK=\pi

\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E}{K}이다.

따라서

\lim_{n\to \infty}\pi_n=\frac{2M^2}{1-2(1-E/K)}=\frac{2M^2}{{\pi}/{2K^2}}=\frac{\pi^2/2K^2}{{\pi}/{2K^2}}=\pi■

  • 수열 \pi_n의 처음 여섯항을 계산한 결과

    3.1405792505221682483113312689758233117734402375129
    3.1415926462135422821493444319826957743144372233456
    3.1415926535897932382795127748018639743812255048354
    3.1415926535897932384626433832795028841971146782836
    3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
    3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

 

 

또다른 알고리즘

x_0=\sqrt{2} ,\pi_0=2+\sqrt{2}}, y_1=\sqrt[4]{2}
x_n=\frac{1}{2}(\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_n}})}, n\geq0 , y_n=\frac{y_{n+1}\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}}}{y_n+1}}, n\geq1 , \pi_n=\pi_{n-1}\frac{x_n+1}{y_n+1}}, n\geq1

  • 위에 정의된 수열 \pi_n은 파이로 수렴하게 된다. 다음은 처음 여섯개의 항을 계산한 결과.

3.1426067539416226007907198236183018919713562462772
3.1415926609660442304977522351203396906792842568645
3.1415926535897932386457739917571417940347896238675
3.1415926535897932384626433832795028841972241204666
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

  • 한번씩 계산할 때마다, 대략 두 배 정도 정확한 자리수
  • 9번째까지 계산한다면, 1000자리 이상의 파이값을 계산

 

 

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매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

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Last edited on 12/09/2011 18:18 by 피타고라스

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