산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산

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개요

 

 

타원적분

K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}

K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}

k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}

K'(k) = K(k')

E'(k) = E(k')

 

 

타원적분에 대한 르장드르 항등식

E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}

2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}

 

 

산술기하평균함수

 

 

렘니스케이트 곡선과 파이

 

 

타원적분과 AGM의 관계

K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}

특별히, K(\frac{1}{\sqrt2})=\frac{\pi}{2M(1,\frac{1}{\sqrt2})}

\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E}{K}

 

 

가우스-살라민 알고리즘

다음과 같이 수열 a_n,b_n,c_n,\pi_n을 정의하자.

a_0=1, b_0=\frac{1}{\sqrt{2}}

c_n=\sqrt{a_n^2-b_n^2}=\frac{c_{n-1}^2}{4a_n}

\pi_n=\frac{2a_{n+1}^2}{1-\sum_{k=0}^{n} 2^kc_k^2}

수열 \pi_n은 \pi로 수렴한다.

(증명)

M=M(1,1/\sqrt{2}), K=K(1/\sqrt{2}), E=E(1/\sqrt{2})로 두면,

2KE-K^2=\frac{\pi}{2} 즉, \frac{2E}{K}-1=\frac{\pi}{2K^2}

2MK=\pi

\sum_{i=0}^{\infty} 2^{i-1} c_i^2 = 1 - \frac{E}{K}이다.

따라서

\lim_{n\to \infty}\pi_n=\frac{2M^2}{1-2(1-E/K)}=\frac{2M^2}{{\pi}/{2K^2}}=\frac{\pi^2/2K^2}{{\pi}/{2K^2}}=\pi■

 

 

또다른 알고리즘

x_0=\sqrt{2} ,\pi_0=2+\sqrt{2}}, y_1=\sqrt[4]{2}
x_n=\frac{1}{2}(\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_n}})}, n\geq0 , y_n=\frac{y_{n+1}\sqrt{x_n}+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}}}{y_n+1}}, n\geq1 , \pi_n=\pi_{n-1}\frac{x_n+1}{y_n+1}}, n\geq1

3.1426067539416226007907198236183018919713562462772
3.1415926609660442304977522351203396906792842568645
3.1415926535897932386457739917571417940347896238675
3.1415926535897932384626433832795028841972241204666
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