숫자 12와 24

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숫자 12와 24

개요

수학에서 숫자 12와 24는 매우 흥미로운 수.
모듈라 군(modular group)과 깊게 관련되어 있음.

숫자 12

모든 자연수의 합과 리만제타함수

$\zeta(-1)= -\frac{1}{12}$

$\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}$
12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight

$\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots$

는 weight 12 cusp form

판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)
$\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}$
오비폴드 오일러 표수

$\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}$
라마누잔과 1729

스털링 공식

$n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)$

숫자 24

아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

$E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}$
리치(Leech)격자의 차원
돌발성 단순군 M24
If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)

$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}$
분할수의 생성함수(오일러 함수)

, $q=e^{-\epsilon}$ 으로 두면 $\epsilon\sim 0$ 일 때, $1-q\sim \epsilon$

$\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})$

$\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})$
26=24+2는 보존 끈이론의 차원
- 24는 transverse dimensions
- http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595#post2910595

메모

http://mathoverflow.net/questions/44866/third-stable-homotopy-group-of-spheres-via-geometry

관련된 항목들

사각 피라미드 퍼즐
모든 자연수의 합과 리만제타함수
정수계수 2x2 행렬군의 분류
Leech lattice
Bosonic string theory
Lattice polygons
모듈라 군, j-invariant and the singular moduli
라마누잔의 수학
j-invariant

위키링크

http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_group

관련논문

Lattice Polygons and the Number 12
- Bjorn Poonen and Fernando Rodriguez-Villegas, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 3 (Mar., 2000), pp. 238-250
My Favorite Numbers : 5, 8, and 24
- John Baez, The Rankin Lectures, University of Glasgow, September 15-19, 2008
A short proof of the twelve-point theorem
- Repovscaron D.; Skopenkov M.; Cencelj M., Mathematical Notes, Volume 77, Number 1, January 2005 , pp. 108-111(4)
The Square Pyramid Puzzle
- W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 125)
- John Baez, November 3, 1998
Picard Groups of Moduli Problems
- David Mumford, Arithmetical Algebraic Geometry, Proceedings of a Conference Held at Purdue University

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