타원적분

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타원적분

개요

먼저 타원적분 입문 참조
는 의 유리함수이고, 은 의 3차 또는 4차식

$\int R(x,\sqrt{ax^3+bx^2+cx+d}) \,dx$ 또는

$\int R(x,\sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}) \,dx$

타원 둘레의 길이

역사적으로 타원 둘레의 길이를 구하는 적분에서 그 이름이 기원함.
타원 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 의 둘레의 길이는 로 주어짐.

$k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

$E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx$

정의

일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부름

$\int R(x,y)\,dx$

여기서 R(x,y) 는 x,y 의 유리함수, y^2 = 중근을 갖지 않는 의 3차식 또는 4차식.

예를 들자면,

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$

$\int \frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx$

일종타원적분과 이종타원적분

제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx$

$K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)$
제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)

$E(k)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2 \theta} d\theta =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{1-k^2x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int_{0}^{1}\frac{1-k^2x^2}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx$

$E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)$
$\,_2F_1(a,b;c;z)$ 는 초기하급수(Hypergeometric series)

르장드르의 항등식

일종타원적분과 이종타원적분 사이에는 다음과 같은 관계가 성립

$E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}$

또는 $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$ 에 대하여

$E(\sin\theta)K(\sin\phi)+E(\sin\phi)K(\sin\theta)-K(\sin\theta)K(\sin\phi)=\frac{\pi}{2}$

특별히 다음과 같은 관계가 성립함

$2K(\frac{1}{\sqrt{2}})E(\frac{1}{\sqrt{2}})-K(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{\pi}{2}$

AGM과 파이값의 계산에 응용

덧셈공식

파그나노의 공식

$\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx = \int_0^{A(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}}dx$

여기서 $A(x,y)=\frac{x\sqrt{1-y^4}+y\sqrt{1-x^4}}{1+x^2y^2}$
오일러의 일반화

일 때,

$\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx = \int_0^{B(x,y)}{\frac{1}{\sqrt{p(x)}}}dx$

여기서 $B(x,y)=\frac{x\sqrt{p(y)}+y\sqrt{p(x)}}{1-nx^2y^2}$

메모

하위페이지

타원적분

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

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삼각치환에서 타원적분으로
- 피타고라스의 창, 2009-8-19
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