초등정수론

간단한 요약

• 정수와 관련된 기본적인 개념들을 공부함.
• 합동식에 대한 여러 정리와 이차잉여의 상호법칙을 공부함.

 

 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

• 필수적인 것은 없음.
• 약수와 배수

• 추상대수학의 몇가지 개념은 알고 있으면 유용함

  • 순환군
  • 유한생성 아벨군의 기본정리
  • 유한체

 

 

다루는 대상

• 정수, 자연수, 소수
• 산술함수
• 합동식
• 디오판투스 방정식

 

중요한 개념 및 정리

• 산술함수
• 합동식 (모듈로 modulo 연산)
• 합동식과 군론
• 오일러-페르마 정리
• 원시근(Primitive root)
• 이차잉여의 상호법칙

• 정수계수 2변수 이차형식

  • 아래 참고할만한 자료에 J.P. Serre의 를 참조.
• 연분수
• 펠방정식

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• 유리수의 십진전개 (decimal fractions)
• 황금비와 연분수
• 오일러의 소수생성다항식
• 짝수완전수와 메르센느 소수

 

다른 과목과의 관련성

• 추상대수학

  • 군론과 유한체의 개념을 바탕으로 이해하는 것이 좋음.

  • 초등정수론에서 자연스럽게 등장하는 군

    • the additive group of integers modulo m
    • the multiplicative group of integers relatively prime to m, modulo m
    • the group of equivalence classes of binary quadratic forms
    • the group of n-th roots of unity
• 암호론(Crytography)
• 해석적정수론

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• 초등정수론 다음은 대략 두 갈래의 길로 나뉘게 되는데, 하나는 정수계수 이차형식을 공부하는 것이고, 다른 하나는 대수적 수론을 공부하는 것임.
• 의 이론은  이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론의 같지만 다른 모습.
• 고차원의 정수계수 이차형식을 공부하기 전에 정수계수 2변수 이차형식을 공부.
• 대수적수론을 공부하기 전에, 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론을 공부하면, 대수적수론의 중요한 다양한 개념을 비교적 용이하게 배울 수 있음.
• 이차형식
• p-adic 해석학
• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 이차잉여의 상호법칙 너머
• 타원곡선
• 페르마의 마지막 정리
• 대수적수론
• Class field theory

 

표준적인 교과서

 

 

추천도서 및 보조교재

• From Fermat to Minkowski: Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development

  • Winfried Scharlau, Hans Opolka

• Introduction to Number Theory

  • Daniel E. Flath 

 

 

관련논문과 에세이

• A Short Proof That Every Prime $p \equiv 3 (\mathrm{mod} 8)$ Is of the Form x2 + 2y2

  • Terence Jackson, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 5 (May, 2000), p. 447

• The Fundamental Theorem of Arithmetic Dissected

  • Ahmet G. Agargün and Colin R. Fletcher, The Mathematical Gazette, Vol. 81, No. 490 (Mar., 1997), pp. 53-57

• The Unique Factorization Theorem: From Euclid to Gauss

  • Mary Joan Collison, Mathematics Magazine, Vol. 53, No. 2 (Mar., 1980), pp. 96-100

• , Introduction to integral binary quadratic forms

  • J.P. Serre, Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
• Online number theory lecture notes
• Descriptions of areas/courses in number theory