미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학

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미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra

개요

미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다
미분연산자와 미분형식
다중적분과 미분형식

미분연산자

미분연산자
$\operatorname{grad}(f) = \nabla f$ 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보낸다

$\nabla f=( f_x, f_y,f_z)$ 를 1-형식 $f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz$ 으로 이해하자.

$d_0=\nabla : f\mapsto f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz$
$\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}$ 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다

벡터장 $\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)$ 을 1-형식 로 이해하자.

$\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}$ 는 2-형식 $\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy$

$d_1=\nabla\times$ 는 1-형식을 2-형식으로 보낸다

$F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy$
$\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}$
$\nabla \times (\nabla f)=0$
$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0$

1-형식의 적분

매개곡선 C: $\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t))$ , $a\leq t \leq b$
1-form $\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz$
곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다

$\int_{C}\omega=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt$
곡선 C 위에서 1-형식 $\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz$ 의 적분은 벡터장 $\mathbf{F}=(P,Q,R)$ 의 선적분과 같다

$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega$

(증명)

$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\big{[}P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\big{]}\,dt=\int_{C}\omega$ . ■

2-형식의 적분

3차원의 매개곡면 S : $\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v))$ , $(u,v)\in D$
2-form $\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy$
S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다

$\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv$
곡면 S위에서 2-형식 $\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy$ 의 적분은 벡터장 $\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)$ 의 적분과 같다

$\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega$

(증명)

${\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)$ 을 관찰하자.

$\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega$ . ■

미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학

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미분연산자

1-형식의 적분

2-형식의 적분

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