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뫼비우스 변환군과 기하학

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개요
  • 복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수 z를, 또다른 복소수

f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad \mbox{where } a,b,c,d\in\Bbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0

로 보내는 복소함수를 뫼비우스 변환이라 함.

  • 하나의 뫼비우스변환은 GL(2,C)의 원소로 표현되지만, 행렬들의 상수배정도는 모두 똑같은 역할을 하므로, 전체 뫼비우스변환군은 PGL(2,C)와 isomorphic 한 군이 됨.
  • bilinear 또는 linear fractional transformation 으로 불리기도 함.
  • 해석함수로 각도와 방향을 보존함.
  • 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.
  • 리만구면 = 1차원 복소사영공간.
  • 원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
  • 교차비를 보존함.
  • 기초적인 내용은 학부 수준의 복소함수론에서 배울 수 있음.
  • 리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.

 

 

반전사상과 뫼비우스 변환
  • 반전사상(inversion)
  • z \mapsto \frac{1}{\bar{z}} 는 복소평면 상에서 고전적인 반전사상이 된다. 하지만 방향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
  • 뫼비우스 변환 z \mapsto \frac{1}{z} 는 고전적인 평면기하의 반전사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성으로, 방향을 보존하게 되고, 해석함수가 됨.

 

 

한 점에서의 사영과 뫼비우스 변환
  • 두 주어진 직선 A,B와 두 직선 밖의 주어진 점 P'가 있다.
  • 직선 A 위의 점 P와 P'를 지나는 직선이 직선 B에서 만나는 점을 \pi(P) 라 하자. 
  •  \pi :A \to B 를 이와 같이 정의할 수 있다.

  • 직선이 아닌 원에 대해서도 마찬가지로 정의가 가능.

    afigure006-riemann65.jpg

 

 

뫼비우스 변환과 원과 직선

  • 직선의 방정식

    • ax+by+c=0, a,b,c \in \mathbb{R}
    • Bz+\bar{B}\bar{z}+c=0, z=
    • 두 표현은 같은 직선의 표현

  • 원의 방정식

    • |z-z_0|=\rho
    • z\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+c=0, b=
    • 두 표현은 같은 원의 표현
  • 따라서 az\bar{z}+\bar{B}z+{B}\bar{z}+c=0, a,c\in \mathbb{R} 는 원과 직선의 방정식이 됨.
  • 뫼비우스 변환은 이러한 형태의 식을 보존하므로, 원과 직선을 원과 직선으로 보냄.

 

 

교차비와 뫼비우스 변환
  • 뫼비우스 변환이 네 점,  z_1,z_2,z_3,z_4 를  w_1,w_2,w_3,w_4로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.

\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}

  • 교차비는 보존하는 복소함수가 네 점  z,z_2,z_3,z_4를  w,1,0,\infty 로 보낼 경우,

(z,z_2;z_3,z_4) =(w,1;0,\infty) 로부터 뫼비우스변환 w = \frac{(z-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z-z_4)} 를 유도할 수 있음.

 

 

사영기하학과 뫼비우스 변환

 

 

 

세 점

  • 사영기하학의 관점에서 \{0,1,\infty\} 의 선택이 좋은 이유

  • 0 은 기준점의 역할
  • 1 은 단위길이를 결정

The first set of fixed points is {0, 1, ∞}. However, the cross-ratio can never take on these values if the points {zi} are all distinct. These values are limit values as one pair of coordinates approach each other:

(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,
(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,
(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty.

 

 

메모

 

재미있는 사실

 

 

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많이 나오는 질문

 

 

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참고할만한 자료

 

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동영상
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  • Moebius Transformations Revealed

    • Youtube
    • 동영상으로 보는 뫼비우스 변환의 아름다움.
    • 다양한 뫼비우스 변환이 처음의 사각형을 어떻게 바꾸는지를 보여줌.
    • 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직한 이해.

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Last edited on 04/18/2012 03:03 by 피타고라스

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