뫼비우스 변환군과 기하학

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뫼비우스 변환군과 기하학

개요

복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수 z를, 또다른 복소수

$f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad \mbox{where } a,b,c,d\in\Bbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0$

로 보내는 복소함수를 뫼비우스 변환이라 함.

하나의 뫼비우스변환은 GL(2,C)의 원소로 표현되지만, 행렬들의 상수배정도는 모두 똑같은 역할을 하므로, 전체 뫼비우스변환군은 PGL(2,C)와 isomorphic 한 군이 됨.
bilinear 또는 linear fractional transformation 으로 불리기도 함.
해석함수로 각도와 방향을 보존함.
뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.
리만구면 = 1차원 복소사영공간.
원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
교차비를 보존함.
기초적인 내용은 학부 수준의 복소함수론에서 배울 수 있음.

리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.

반전사상과 뫼비우스 변환

반전사상(inversion)
$z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}$ 는 복소평면 상에서 고전적인 반전사상이 된다. 하지만 방향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
뫼비우스 변환 $z \mapsto \frac{1}{z}$ 는 고전적인 평면기하의 반전사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성으로, 방향을 보존하게 되고, 해석함수가 됨.

한 점에서의 사영과 뫼비우스 변환

두 주어진 직선 A,B와 두 직선 밖의 주어진 점 가 있다.
직선 A 위의 점 와 를 지나는 직선이 직선 B에서 만나는 점을 $\pi(P)$ 라 하자.
$\pi :A \to B$ 를 이와 같이 정의할 수 있다.
직선이 아닌 원에 대해서도 마찬가지로 정의가 가능.

뫼비우스 변환과 원과 직선

직선의 방정식
- $ax+by+c=0, a,b,c \in \mathbb{R}$
- $Bz+\bar{B}\bar{z}+c=0, z=$
- 두 표현은 같은 직선의 표현
원의 방정식
- $|z-z_0|=\rho$
- $z\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+c=0, b=$
- 두 표현은 같은 원의 표현
따라서 $az\bar{z}+\bar{B}z+{B}\bar{z}+c=0, a,c\in \mathbb{R}$ 는 원과 직선의 방정식이 됨.
뫼비우스 변환은 이러한 형태의 식을 보존하므로, 원과 직선을 원과 직선으로 보냄.

교차비와 뫼비우스 변환

뫼비우스 변환이 네 점, 를 로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.

$\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}$

교차비는 보존하는 복소함수가 네 점 를 $w,1,0,\infty$ 로 보낼 경우,

$(z,z_2;z_3,z_4) =(w,1;0,\infty)$ 로부터 뫼비우스변환 $w = \frac{(z-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z-z_4)}$ 를 유도할 수 있음.

교차비 항목 참조

사영기하학과 뫼비우스 변환

세 점

사영기하학의 관점에서 $\{0,1,\infty\}$ 의 선택이 좋은 이유
은 기준점의 역할
은 단위길이를 결정

The first set of fixed points is {0, 1, ∞}. However, the cross-ratio can never take on these values if the points {z_i} are all distinct. These values are limit values as one pair of coordinates approach each other:

$(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,$

$(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,$

$(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty.$

메모

Cross ratio
- central projection and cross ratio
- inversion and cross ratio
나비정리
톨레미의 정리
Steiner's theorem

재미있는 사실

많이 나오는 질문

네이버 지식인
- http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=교차비

참고할만한 자료

Finite Groups, Wallpaper Patterns and Non-Euclidean Geometries
- A. F. Beardon, The Mathematical Gazette, Vol. 62, No. 422 (Dec., 1978), pp. 267-278
http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_transformation
http://en.wikipedia.org/wiki/Projective_transformation
http://viswiki.com/en/
http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
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대한수학회 수학 학술 용어집

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Moebius Transformations Revealed
- Youtube
- 동영상으로 보는 뫼비우스 변환의 아름다움.
- 다양한 뫼비우스 변환이 처음의 사각형을 어떻게 바꾸는지를 보여줌.
- 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직한 이해.

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반전사상과 뫼비우스 변환

한 점에서의 사영과 뫼비우스 변환

뫼비우스 변환과 원과 직선

교차비와 뫼비우스 변환

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