모듈라 군, j-invariant and the singular moduli

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모듈라 군, j-invariant and the singular moduli

개요

타원적분의 singular value k
- 자연수 에 대하여, 다음을 만족시키는 를 singular value 라 한다
  
  $\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n$
타원 모듈라 λ-함수

$\lambda(\tau)=k^2(\tau)$ 는 modulus라고 불렸으며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 -불변량에 그 자리를 내줌
explicit class field theory 에서 중요한 역할을 한다
초등정수론의 합동식 (모듈로 modulo 연산) 와는 다른 것임.

singular moduli와 관련된 함수들

$k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}$

$k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}$

$\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}$

j-invariant

$J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}$

$j(\tau)=1728J(\tau)$

$j(\frac {-1+\sqrt{-163}} {2})=-262537412640768000=-640320^3$
베버(Weber) 모듈라 함수
라마누잔의 class invariants

타원적분과 singular moduli

일종타원적분 K

$\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1$

$\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}$

$\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}$

$\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}}\right)= \sqrt{4}$
singular values

$k(i)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$k(\sqrt{2}i)=\sqrt{2}-1$

$k(\sqrt{3}i)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$k(2i)=3-2\sqrt{2}$

singular moduli

$\lambda(i)=k^2(i)=\frac{1}{2}$

일때의 singular moduli 모음

에서의 디리클레 L-함수의 도함수 값

$L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})$

Chowla-셀베르그 공식 항목 참조
적분쇼

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=L'_{-4}(1)- \frac{\pi}{4}\gamma=\frac{\pi}{2}\ln({\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi})$
타원적분의 singular value k

$k(\sqrt{-1})=\frac{1}{\sqrt{2}}$
타원 모듈라 λ-함수

$\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}$
로저스-라마누잔 연분수와 항등식

$r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}$
베버(Weber) 모듈라 함수

$\mathfrak{f}(i)^8=4$

$\mathfrak{f}_1(i)^8=2$

$\mathfrak{f}_2(i)^8=2$
타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)

$j(\sqrt{-1})=1728=12^3$
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

$K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{1}{4})}{2\sqrt{2}\Gamma(\frac{3}{4})}=1.8540746773\cdots$
자코비 세타함수

$\theta_3(\sqrt{-1})=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}}$
데데킨트 에타함수

$\eta(\sqrt{-1})=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})}{2 \pi ^{3/4}}$

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관련된 항목들

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=kor_term&fstr=모듈라
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=modular
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=

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관련도서

Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory
- Tom M. Apostol, 1990
Discontinuous Groups and Automorphic Functions
- Joseph Lehner

관련논문

Modular Miracles
- John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 1 (Jan., 2001), pp. 70-76
Rationals and the Modular Group
- Roger C. Alperin, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 8 (Oct., 1999), pp. 771-773
Modular functions and transcendence questions
- Yu V Nesterenko 1996 Sb. Math. 187 1319-1348
On singular moduli.
- Gross, B.H.; Zagier, Don B, J. Rcinc Angew. Math. 355, 191-220

관련링크와 웹페이지

Fundamental Domain drawer
- Java applet, H. A. Verrill
The Action of the Modular Group on the Fundamental Domain
- Wolfram