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정규분포와 그 확률밀도함수

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개요
  • 고교 과정의 통계에서는 정규분포의 기본적인 성질과 정규분포표 읽는 방법을 배움.

  • 평균이 \mu, 표준편차가 \sigma인 정규분포의  N(\mu,\sigma^2)의 확률밀도함수, 즉 가우시안은 다음과 같음이 알려져 있음.

    \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

  • 아래에서는 이 확률밀도함수가 어떻게 해서 얻어지는가를 보임.(기본적으로는 가우스의 증명)
  • 가우시안의 형태를 얻는 또다른 방법으로 드무아브르-라플라스 중심극한정리 를 참조.

 

 

'오차의 법칙'을 통한 가우시안의 유도
  • 오차 = 관측하려는 실제값 - 관측에서 얻어지는 값

  • 오차의 분포를 기술하는 확률밀도함수 \Phi는 다음과 같은 성질을 만족시켜야 함.

    1) \Phi(x)=\Phi(-x)

    2)작은 오차가 큰 오차보다 더 나타날 확률이 커야한다. 그리고 매우 큰 오차는 나타날 확률이 매우 작아야 한다.

    3) \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(x)\,dx=1

    4) 관측하려는 실제값이 \mu 이고, n 번의 관측을 통해 x_1, x_2, \cdots, x_n 을 얻을 확률 \Phi(\mu-x_1)\Phi(\mu-x_2)\cdots\Phi(\mu-x_n)의 최대값은 \mu=\frac{x_1+x_2+ \cdots+ x_n}{n}에서 얻어진다.

  • 4번 조건을 가우스의 산술평균의 법칙이라 부르며, 관측에 있어 실제값이 될 개연성이 가장 높은 값은 관측된 값들의 산술평균이라는 가정을 하는 것임.

 

(정리) 가우스

이 조건들을 만족시키는 확률밀도함수는 \Phi(x)=\frac{h}{\sqrt{\pi}}e^{-h^2x^2} 형태로 주어진다. 여기서 h는 확률의 정확도와 관련된 값임. (실제로는 표준편차와 연관되는 값)

 

(증명)

n=3인 경우에 4번 조건을 만족시키는 함수를 찾아보자.

\Phi(x-x_1)\Phi(x-x_2)\Phi(x-x_3)의 최대값은 x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3} 에서 얻어진다.

따라서 \ln \Phi(x-x_1)\Phi(x-x_2)\Phi(x-x_3) 의 최대값도 x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3} 에서 얻어진다.

미분적분학의 결과에 의해,  x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3} 이면,  \frac{\Phi'(x-x_1)}{\Phi(x-x_1)}+\frac{\Phi'(x-x_2)}{\Phi(x-x_2)}+\frac{\Phi'(x-x_3)}{\Phi(x-x_3)}=0 이어야 한다. 

F(x)=\frac{\Phi'(x)}{\Phi(x)} 으로 두자.

x+y+z=0 이면, F(x)+F(y)+F(z)=0 이어야 한다.

1번 조건에 의해, F 는 기함수이다. 

따라서 모든 x,y 에 의해서, F(x+y)=F(x)+F(y) 가 성립한다. 그러므로 F(x)=Ax 형태로 쓸수 있다.

이제 적당한 상수 B, h 에 의해 \Phi(x)=Be^{-h^2x^2} 꼴로 쓸 수 있다. 

모든 n에 대하여 4번조건이 만족됨은 쉽게 확인할 수 있다. (증명끝)

 

역사
  • 중심극한정리는 여러 과정을 거쳐 발전

  • 이항분포의 중심극한 정리

    • 라플라스의 19세기 초기 버전

      확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따를 때, n이 충분히 크면 X의 분포는 근사적으로 정규분포 N(np,npq)를 따른다

    • 드무아브르가 18세기에 발견한 것은 이항분포에서 확률이 1/2인 경우
    • 드무아브르-라플라스 중심극한정리 의 유도는 해당 항목을 참조.
  • 수학사연표

 

 

메모

 

 

재미있는 사실
  • 정규분포와 중심극한정리에 대한 이해는 교양인이 알아야 할 수학 주제의 하나나

  • Galton's quincunx

    • 정규분포의 밀도함수 형태를 물리적으로 얻을 수 있는 장치.

  • 예전 독일 마르크화에는 가우스의 발견을 기려 정규분포곡선이 새겨짐

    Gauss-detail2.jpg

 

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정규분포,가우시안,중심극한정리,통계,가우스

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Last edited on 01/09/2012 14:30 by 피타고라스

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