정규분포와 그 확률밀도함수

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정규분포와 그 확률밀도함수

개요

고교 과정의 통계에서는 정규분포의 기본적인 성질과 정규분포표 읽는 방법을 배움.
평균이 $\mu$ , 표준편차가 $\sigma$ 인 정규분포의 $N(\mu,\sigma^2)$ 의 확률밀도함수, 즉 가우시안은 다음과 같음이 알려져 있음.

$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
아래에서는 이 확률밀도함수가 어떻게 해서 얻어지는가를 보임.(기본적으로는 가우스의 증명)
가우시안의 형태를 얻는 또다른 방법으로 드무아브르-라플라스 중심극한정리 를 참조.

'오차의 법칙'을 통한 가우시안의 유도

오차 = 관측하려는 실제값 - 관측에서 얻어지는 값
오차의 분포를 기술하는 확률밀도함수 $\Phi$ 는 다음과 같은 성질을 만족시켜야 함.

1) $\Phi(x)=\Phi(-x)$

2)작은 오차가 큰 오차보다 더 나타날 확률이 커야한다. 그리고 매우 큰 오차는 나타날 확률이 매우 작아야 한다.

3) $\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(x)\,dx=1$

4) 관측하려는 실제값이 $\mu$ 이고, n 번의 관측을 통해 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 을 얻을 확률 $\Phi(\mu-x_1)\Phi(\mu-x_2)\cdots\Phi(\mu-x_n)$ 의 최대값은 $\mu=\frac{x_1+x_2+ \cdots+ x_n}{n}$ 에서 얻어진다.
4번 조건을 가우스의 산술평균의 법칙이라 부르며, 관측에 있어 실제값이 될 개연성이 가장 높은 값은 관측된 값들의 산술평균이라는 가정을 하는 것임.

(정리) 가우스

이 조건들을 만족시키는 확률밀도함수는 $\Phi(x)=\frac{h}{\sqrt{\pi}}e^{-h^2x^2}$ 형태로 주어진다. 여기서 는 확률의 정확도와 관련된 값임. (실제로는 표준편차와 연관되는 값)

(증명)

n=3 인 경우에 4번 조건을 만족시키는 함수를 찾아보자.

$\Phi(x-x_1)\Phi(x-x_2)\Phi(x-x_3)$ 의 최대값은 $x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3}$ 에서 얻어진다.

따라서 $\ln \Phi(x-x_1)\Phi(x-x_2)\Phi(x-x_3)$ 의 최대값도 $x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3}$ 에서 얻어진다.

미분적분학의 결과에 의해, $x=\frac{x_1+x_2+ x_3}{3}$ 이면, $\frac{\Phi'(x-x_1)}{\Phi(x-x_1)}+\frac{\Phi'(x-x_2)}{\Phi(x-x_2)}+\frac{\Phi'(x-x_3)}{\Phi(x-x_3)}=0$ 이어야 한다.

$F(x)=\frac{\Phi'(x)}{\Phi(x)}$ 으로 두자.

x+y+z=0 이면, F(x)+F(y)+F(z)=0 이어야 한다.

1번 조건에 의해, 는 기함수이다.

따라서 모든 x,y 에 의해서, F(x+y)=F(x)+F(y) 가 성립한다. 그러므로 F(x)=Ax 형태로 쓸수 있다.

이제 적당한 상수 B, h 에 의해 $\Phi(x)=Be^{-h^2x^2}$ 꼴로 쓸 수 있다.

모든 에 대하여 4번조건이 만족됨은 쉽게 확인할 수 있다. (증명끝)

역사

중심극한정리는 여러 과정을 거쳐 발전
이항분포의 중심극한 정리
- 라플라스의 19세기 초기 버전
  
  확률변수 X가 이항분포 B(n,p)를 따를 때, n이 충분히 크면 X의 분포는 근사적으로 정규분포 N(np,npq)를 따른다
- 드무아브르가 18세기에 발견한 것은 이항분포에서 확률이 1/2인 경우
- 드무아브르-라플라스 중심극한정리 의 유도는 해당 항목을 참조.
수학사연표

메모

재미있는 사실

정규분포와 중심극한정리에 대한 이해는 교양인이 알아야 할 수학 주제의 하나나
Galton's quincunx
- 정규분포의 밀도함수 형태를 물리적으로 얻을 수 있는 장치.

예전 독일 마르크화에는 가우스의 발견을 기려 정규분포곡선이 새겨짐

많이 나오는 질문과 답변

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- http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=정규분포
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