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부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)

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부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)

개요

리우빌의 정리

(정리 ) 리우빌, 1835

(a) 가 $x,y_1,\cdots,y_m$ 의 대수적함수이고, $y_1,\cdots,y_m$ 는 의 함수로서 $\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}$ 가 $x,y_1,\cdots,y_m$ 의 대수적함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) $\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx$ 는 초등함수이다.

(ii) $\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)$ 여기서 C_j 는 상수이고, U_j 는 $x,y_1,\cdots,y_m$ 의 대수적함수

(b) 가 $x,y_1,\cdots,y_m$ 의 유리함수이고, $y_1,\cdots,y_m$ 는 의 함수로서 $\frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx}$ 가 $x,y_1,\cdots,y_m$ 의 유리함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) $\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx$ 는 초등함수이다.

(ii) $\int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)$ 여기서 C_j 는 상수이고, U_j 는 $x,y_1,\cdots,y_m$ 의 유리함수

리우빌 정리의 특수한 경우

(정리 ) 리우빌, 1835

f(x), g(x) 는 유리함수이면, (단, g(x) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.

(i) $\int f(x)e^{g(x)} \,dx$ 는 초등함수이다.

(ii) 유리함수 R(x) 가 존재하여 f(x)=R'(x)+R(x)g'(x) 를 만족시킨다.

(증명)은 [Ritt48]

노트
- , $y_1=e^{g(x)}$ 로 두면 리우빌 정리(b)의 조건을 만족시킴
  
  $y_1'=g'(x)e^{g(x)}=g'(x)y_1$ 는 의 유리함수

(따름정리)

정수 n에 대하여 $\int x^{2n}e^{ax^2} dx$ ( $a\neq 0$ )는 초등함수가 아니다.

자연수 n에 대하여 $\int x^{-n}e^{cx} dx$ ( $c\neq 0$ )는 초등함수가 아니다.

예

초등함수가 아닌경우

$\int e^{-\frac{x^2}{2}} dx$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+ln+x $\int \sqrt{\ln x} dx=\int 2t^2e^{t^2}dt$ , $t^2=\ln x$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1+over+sqrt+ln+x $\int \frac{1}{\sqrt{\ln x}} dx=\int 2e^{t^2}dt$ , $t^2=\ln x$

$\int \frac{e^{ax}}{\sqrt{x}} dx=\int 2e^{at^2}dt$ , t^2=x

$\int e^{e^{x}} dx=\int \frac{e^t}{t}dt$ , t=e^x

$\int \frac{1}{\ln x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt$ , $t=\ln x$

$\int \ln(\ln x)dx = x\ln (\ln x) -\int \frac{1}{\ln x} dx$

$\int \frac{\sin x}{x} dx = \mbox{Im}(\int \frac{e^{ix}}{x}dx)$

[MAR94] 참고

체비셰프의 정리

(정리)

유리수 $p,q,r\neq0$ 와 실수 a,b 에 대하여, 다음 둘은 동치이다.

(i) $\int x^p(a+bx)^q \,dx$ 는 초등함수이다.

(ii) $\frac{(p+1)}{r},q,\frac{(p+1)}{r}+q$ 중에 적어도 하나는 정수이다.

예

$\int \sqrt[3]{1+x^2}dx$ 는 초등함수가 아니다.

f(x)=x^k 의 그래프의 길이함수 $\int \sqrt{1+k^2x^{2k-2}}\,dx$ 는 k=1 또는 $k=1+\frac{1}{n}$ 일 때만 초등함수이다.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+sin+x

$\int \sqrt{\sin x}\,dx=\int u^{1/2}(1-u^2)^{-1/2}\,du$ ( $u=\sin x$ ) 는 초등함수가 아니다.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt+cos+x

$\int \sqrt{\cos x}\,dx$ 는 초등함수가 아니다.

$\int \sqrt{\tan x}\,dx$ 는 초등함수이다. ( $u^2=\tan x$ )

정수 m,n 에 대하여, $\int (1-x^n)^{1/m}$ 는 초등함수이다. $\iff$ $m=\pm 1$ 또는 $n=\pm 1$ 또는 m=n=2 또는 m=-n

$\int (\sin x)^m(\cos x)^n \,dx$ 는 모든 정수 m,n 에 대하여 초등함수이다.

참고 [MAR94]

역사

수학사연표

관련된 항목들

관련도서 및 추천도서

Galois' Dream: Group Theory and Differential Equations
- Michio Kuga

[Ritt48]Integration in finite terms: Liouville's theory of elementary methods
- Joseph Fels Ritt,Columbia University Press, 1948

위키링크

http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_Galois_theory

관련논문

On solvability and unsolvability of equations in explicit form
- A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
Integration in elementary terms
- Brian Conrad, webpage
From analytic to algebraic methods. Liouville’s approach to integration in finite terms
- Jesper Lützen, NTM Zeitschrift für Geschichte der Wissenschaften, Technik und Medizin, Volume 2, Number 1 / 1994년 12월
[MAR94]An Invitation to Integration in Finite Terms
- Elena Anne Marchisotto and Gholam-Ali Zakeri, The College Mathematics Journal, Vol. 25, No. 4 (Sep., 1994), pp. 295-308
Integration in Finite Terms: The Liouville Theory
- Toni Kasper, Mathematics Magazine, Vol. 53, No. 4 (Sep., 1980), pp. 195-201
On Liouville's theory of elementary functions
- Maxwell Rosenlicht, Pacific J. Math. Volume 65, Number 2 (1976), 485-492
Integration in Finite Terms
- Maxwell Rosenlicht, The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 9 (Nov., 1972), pp. 963-972
The Problem of Integration in Finite Terms
- Robert H. Risch, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 139, (May, 1969), pp. 167-189
Liouville's theorem on functions with elementary integrals
- Maxwell Rosenlicht, Pacific J. Math. Volume 24, Number 1 (1968), 153-161

History

Last edited on 06/09/2010 03:37 by 피타고라스

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