부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms)

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개요

 

 

리우빌의 정리

(정리 ) 리우빌, 1835

(a) F가 x,y_1,\cdots,y_m의 대수적함수이고,  y_1,\cdots,y_m 는 x의 함수로서 \frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx} 가 x,y_1,\cdots,y_m의 대수적함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) \int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx 는 초등함수이다.

(ii) \int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)  여기서 C_j는 상수이고, U_j는 x,y_1,\cdots,y_m의 대수적함수

(b)  F가 x,y_1,\cdots,y_m의 유리함수이고,  y_1,\cdots,y_m 는 x의 함수로서 \frac{dy_1}{dx},\cdots,\frac{dy_m}{dx} 가 x,y_1,\cdots,y_m의 유리함수로 표현된다면, 다음 두 명제는 동치이다.

(i) \int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx 는 초등함수이다.

(ii) \int F(x,y_1,y_2,\cdots,y_m) \,dx=U_0+\sum_{j=1}^{n}C_j \ln(U_j)  여기서 C_j는 상수이고, U_j는 x,y_1,\cdots,y_m의 유리함수 

 

 

리우빌 정리의 특수한 경우

(정리 ) 리우빌, 1835

f(x), g(x) 는 유리함수이면,  (단, g(x) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.

(i)\int f(x)e^{g(x)} \,dx 는 초등함수이다.

(ii) 유리함수 R(x)가 존재하여 f(x)=R'(x)+R(x)g'(x) 를 만족시킨다.

 

(증명)은 [Ritt48]

 

(따름정리)

정수 n에 대하여 \int x^{2n}e^{ax^2} dx (a\neq 0)는 초등함수가 아니다.

자연수 n에 대하여 \int x^{-n}e^{cx} dx (c\neq 0)는 초등함수가 아니다.

 

 

예

\int \frac{e^{ax}}{\sqrt{x}} dx=\int 2e^{at^2}dt, t^2=x

\int e^{e^{x}} dx=\int \frac{e^t}{t}dt, t=e^x

\int \frac{1}{\ln x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt, t=\ln x

\int \ln(\ln x)dx = x\ln (\ln x) -\int \frac{1}{\ln x} dx

\int \frac{\sin x}{x} dx = \mbox{Im}(\int \frac{e^{ix}}{x}dx)

 

 

체비셰프의 정리

(정리)

유리수 p,q,r\neq0와 실수 a,b에 대하여, 다음 둘은 동치이다.

 

(i)\int x^p(a+bx)^q \,dx 는 초등함수이다.

(ii) \frac{(p+1)}{r},q,\frac{(p+1)}{r}+q 중에 적어도 하나는 정수이다.

 

 

예

\int \sqrt[3]{1+x^2}dx 는 초등함수가 아니다.

f(x)=x^k 의 그래프의 길이함수 \int \sqrt{1+k^2x^{2k-2}}\,dx 는 k=1 또는 k=1+\frac{1}{n} 일 때만 초등함수이다.

 

 \int \sqrt{\tan x}\,dx는 초등함수이다. (u^2=\tan x)

정수 m,n에 대하여, \int (1-x^n)^{1/m} 는 초등함수이다. \iff m=\pm 1 또는 n=\pm 1 또는 m=n=2 또는 m=-n

\int (\sin x)^m(\cos x)^n \,dx 는 모든 정수 m,n에 대하여 초등함수이다.  

 

 

역사

 

 

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