미분기하학

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미분기하학

개요

위상적으로는 국소적으로 유클리드 공간과 같으며, 그 위에 메트릭이 주어진 곡면의 기하학을 공부함.
비유클리드기하학을 이해하는 틀을 배우게 된다
미분형식을 이용하여 전개할 수도 있고, 미분형식을 사용하지 않고 크리스토펠 기호를 사용하여 전개할 수도 있다

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

다변수미적분학
- 매개화된 곡면
상미분방정식
기초적인 편미분방정식
선형대수학
- 내적공간
- 대칭행렬의 대각화

다루는 대상

곡선
곡면

중요한 개념 및 정리

메트릭이 주어진 곡면
- 제1기본형식(first fundamental form)
접속 (connection)
공변미분(covariant derivative)
측지선
평행이동
- 공변미분이 주어지면, 곡선을 따라 벡터를 평행이동할 수 있다
가우스 곡률
가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium)
가우스-보네 정리

곡면을 이해하는 두 가지 관점

3차원 공간에 놓인 곡면
3차원 공간을 생각하지 않고, 거리와 각도를 잴 수 있는 방식이 주어진 곡면
학부 미분기하학에서는 곡면에 대한 첫번째 관점에서 두번째 관점으로의 이동을 배우게 됨

사용되는 언어

텐서 해석학
미분형식

매개화된 곡면

벡터장
,

제1기본형식(first fundamental form)과 면적소

곡면의 제1기본형식은 곡면 상에서 거리와 각도를 재는 방법에 해당한다
곡면의 접평면마다 내적이 주어진 것으로 이해할 수 있다
메트릭 텐서(metric tensor)라고도 한다
제1기본형식

$ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$
면적소

$dA=\sqrt{EG-F^2} \, du\, dv$
3차원의 곡면에 대해서는 다음과 같이 계산할 수 있다

$g_{ij} : = X_i \cdot X_j$

$E=g_{11}$ , $F=g_{12}=g_{21}$ , $G=g_{22}$

$ds^2 =(X_u du+X_v dv)\cdot (X_u du+X_v dv)= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$

접속(connection)

방향미분의 일반화
벡터장 ${\mathbf v}$ 와 벡터장 ${\mathbf Y}$ 에 대해서 정의되며, 벡터장 $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}$ 을 얻는다
다음 성질을 가진다

$\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}$
적당한 1-form $A_{ij}$ 에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다

$\nabla X_i = \sum_{j=1}^{2} A_{ij}\otimes X_j= A_{i}^{j}\otimes X_j$

$A_{ij}= A_{i}^{j}$ 로 두었다
여기서 1-form $A_{ij}$ 는 벡터장 ${\mathbf v}$ 에 대하여 다음을 만족시킴

$\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \sum_{j=1}^{2} A_{ij}({\mathbf v}) X_j$
이때의 $A=(A_{ij})$ 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다
$F=dA-A\wedge A$ 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다
3차원의 매개화된 곡면의 경우, 접속은 벡터장의 방향미분을 취한뒤, 곡면에 수직한 성분을 빼주는 것으로 얻어진다
접속(connection) 항목 참조

크리스토펠 기호

정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 ${\Gamma^k}_{ij}$ , $i,j,k\in\{1,2\}$ 를 정의한다

$\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k$
접속형식 $A=(A_{ij})$ 을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다

$\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k$

즉 $A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}$
3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)

$X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)$

$X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)$

$X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)$

$X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)$
제1기본형식을 이용한 표현
크리스토펠 기호 항목 참조

공변미분(covariant derivative), 평행이동, 측지선

곡선 $\alpha : I \to M$ 를 따라 정의된 벡터장 에 대하여, 공변미분은 다음과 같이 정의됨

$\frac{DY}{dt}=\nabla_{\alpha'(t)}Y$
곡선 $\alpha : I \to M$ 를 따라 정의된 벡터장 에 대하여, 공변미분이 0이 되는 경우, 즉 $\nabla_{\alpha'(t)}Y=0$ 인 경우, 벡터장 는 곡선 $\alpha$ 를 따라 평행하다고 한다
곡선 $\alpha : I \to M$ 가 $\nabla_{\alpha'(t)}\alpha'(t)=0$ 를 만족시키는 경우, 곡선 $\alpha$ 를 이 곡면의 측지선이라 부른다
coordinate chart 에서 $\alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t))$ 로 표현되는 경우, 크리스토펠 기호를 쓰면 측지선은 다음 미분방정식을 만족시킨다

$\frac{d^2\alpha_k }{dt^2} + \Gamma^{k}_{~i j }\frac{d\alpha_i }{dt}\frac{d\alpha_j }{dt} = 0$
측지선

가우스곡률과 가우스의 정리

곡면에 정의된 가우스곡률은 곡선의 곡률과 마찬가지로, 곡면에 수직인 정규벡터(normal vector)의 변화와 관련된 개념
가우스의 정리는 이러한 곡률을 곡면의 제1기본형식을 통해서 표현할 수 있음을 말해준다
가우스곡률은 인 제1기본형식에 대하여, 다음과 같이 주어진다

$K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}} + \frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)$
곡률의 개념이 곡면이 3차원에 놓인 상태와는 무관하며, 곡면에서 측량할 수 있다는 사실을 말해줌
가우스의 놀라운 정리(Theorema Egregium) 항목 참조
가우스곡률

곡면의 예

유클리드평면, 구면(sphere), 푸앵카레 상반평면 세가지 상수 곡률 곡면
- 이들 곡면은 각각 유클리드기하학, 구면기하학, 쌍곡기하학의 모델
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pseudosphere
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sphere

역사

수학사연표
1829 - 볼리아이, 가우스, 로바체프스키가 쌍곡기하학을 발견
1854 - 리만이 리만기하학을 소개

메모

http://math.uh.edu/~minru/Riemann09/five1.pdf

다른 과목과의 관련성

대수적 위상수학
- 오일러의 정리 V-E+F = 2-2g
  - g = 곡면의 종수(genus), 쉽게 말하면 구멍의 개수. 구면은 g=0, 도넛모양은 g=1
  - 가우스-보네 정리를 이해하는데 필수적인 개념
복소함수론
- 단위원 또는 푸앵카레 상반평면 모델의 group of conformal automorphisms = group of isometries
- Uniformization theorem
추상대수학
- 군론 - discrete subgroups of isometry group
- 클라인의 에를랑겐 프로그램(Erlangen Program)
미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra
- 다변수미적분학과 미분기하학을 고차원의 다양체로 확장하기 위해 필요한 언어

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=fundamental+form
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=connection
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

표준적인 교과서

do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces.

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다루는 대상

중요한 개념 및 정리

곡면을 이해하는 두 가지 관점

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매개화된 곡면

제1기본형식(first fundamental form)과 면적소

접속(connection)

크리스토펠 기호

공변미분(covariant derivative), 평행이동, 측지선

가우스곡률과 가우스의 정리

곡면의 예

역사

메모

다른 과목과의 관련성

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

관련된 항목들

수학용어번역

사전 형태의 자료

관련논문

표준적인 교과서

추천도서 및 보조교재