복소수

간단한 요약

• (고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
• 3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다.

 

 

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

• (10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.

• 삼각함수의 덧셈정리

  • 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요

 

 

중요한 개념 및 정리

• 
• 복소수를 계수로 가지는 차방정식은 개의 복소수근(만)을 가진다 : 대수학의 기본 정리.
• , 이면

.  는 실수

• 드 무아브르 정리

 

• 복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다. (지금은 몰라도 좋음)

  • Euler's Formula : (복소수승의 정의(definition))
  • 오일러의 공식 참조

 

• 복소평면 : 복소수와 평면 위의 점은 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)

  • ,

 

 

켤레복소수

(정리)

복소수 (는 실수)가 실계수방정식 , () 의 해이면, 켤레복소수 도 이 방정식의 해이다.

 

(증명)

라 두자.  이다.

좌변과 우변에서 각각 켤레복소수를 취하면,

을 얻는다.

따라서 이 된다. (증명끝)

 

 

재미있는 문제

• 
• , and... (실수) i^i 는 무엇일까?

 

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

• 이차방정식 의 근: (근의 공식), 특별히 인 경우 두 복소근을 가짐.
• 하나의 복소수가 실계수 방정식의 근이라면 그 켤레복소수도 역시 근이 됨.
• 길이가 1인 복소수의 곱셈은 2차원 평면 상에서, 회전변환으로 이해할 수 있음.

에서

: 회전변환.

관련있는 다른 과목

 

 

관련된 대학교 수학

• 복소함수론

  • 고등학교에서 배우는 함수들은 정의역과 공역이 실수집합 또는 실수의 부분집합임.
  • 정의역과 공역을 복소수로 가지는 함수들을 배움.
  • 수학적으로 매우 풍부하고, 아름다운 결과들이 많아 공부할 가치가 많이 있음.

• 추상대수학

  • 복소수는 체의 구조를 가지고 있음.
  • 1차원은 실수, 2차원은 복소수, 그러면 3차원에는 ?
  • 4차원에는 복소수의 확장이라 할 수 있는 해밀턴의 사원수가 있음.
• 대수학의 기본정리

 

 

참고할만한 도서 및 자료

• The Historical Development of Complex Numbers

  • D. R. Green, The Mathematical Gazette, Vol. 60, No. 412 (Jun., 1976), pp. 99-107

• Dimensions

  • 아름다운 장면이 많은 수학 동영상
  • chapter 5,6는 복소수에 대한 내용을 담고 있음.

 

동영상 강좌