복소수

간단한 요약

(고등학교 과정 내에서는) 수 체계의 완성.
3차방정식의 해법으로, 그리고 타르탈리아와의 일로도 유명한 카르다노의 'Ars Magna' 의 3차 방정식의 풀이 중, 음수의 제곱근을 (형식적으로) 의미 없는 근으로 여기지 않은 부분이 있다. 그 결과로 실수해가 얻어지는 것을 보고 카르다노는 많이 당황하였다.

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

(10 - 가 의 복소수 단원을 위해서) 딱히 없음.
삼각함수의 덧셈정리
- 현재는 교육과정에서 빠져 있는 복소수의 극형식을 공부하기 위해서 필요

중요한 개념 및 정리

$i^2=-1$
복소수를 계수로 가지는 $n$ 차방정식은 $n$ 개의 복소수근(만)을 가진다 : 대수학의 기본 정리.
$z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ , $z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ 이면

$z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2) \big)$ . $\big(r_1, \quad r_2$ 는 실수 $\big)$

드 무아브르 정리

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta$

복소수는 삼각함수와 지수함수 사이의 교량과도 같다. (지금은 몰라도 좋음)
- Euler's Formula : $e^{i \theta}=\cos\theta + i\sin\theta$ (복소수승의 정의(definition))
- 오일러의 공식 참조

복소평면 : 복소수와 평면 위의 점은 1-1 대응시킬 수 있다. (실수와 수직선 사이에 1-1 대응이 가능하듯이)
- $|z_1 z_2 | = |z_1 ||z_2 |$ , $arg(z_1 z_2) = arg(z_1) + arg(z_2)$

켤레복소수

$\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma}\}$

$\{\operatorname{id}, \sigma}\}$

$\sigma^2(z)=\bar{\bar{z}}=z$

(정리)

복소수 $\alpha+\beta i$ ( $\alpha, \beta$ 는 실수)가 실계수방정식 $f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ , ( $a_n\neq 0$ ) 의 해이면, 켤레복소수 $\alpha-\beta i$ 도 이 방정식의 해이다.

(증명)

$z=\alpha+\beta i$ 라 두자. $f(z)=a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0 = 0$ 이다.

좌변과 우변에서 각각 켤레복소수를 취하면,

$\overline{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \cdots + a_1 z + a_0} = a_n \bar{z}^n + a_{n-1} \bar{z}^{n-1} + a_{n-2} \bar{z}^{n-2} + \cdots + a_1 \bar{z} + a_0=0$ 을 얻는다.

따라서 $f(\bar{z})=f(\alpha-\beta i)=0$ 이 된다. (증명끝)

재미있는 문제

$e^{i\pi}+1 =0$
$i^i = e^{-\frac{\pi}{2}}$ , and... (실수) i^i 는 무엇일까?

참고할만한 도서 및 자료

The Historical Development of Complex Numbers
- D. R. Green, The Mathematical Gazette, Vol. 60, No. 412 (Jun., 1976), pp. 99-107
Dimensions
- 아름다운 장면이 많은 수학 동영상
- chapter 5,6는 복소수에 대한 내용을 담고 있음.

복소수

간단한 요약

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

중요한 개념 및 정리

켤레복소수

재미있는 문제

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

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참고할만한 도서 및 자료

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