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정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)

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더 일반적인 상호법칙들(reciprocity laws)

개요

정수계수 다항식 f(x)가 주어져 있을 때, f(x) mod p 를 생각한다.
이 때, 어느 소수 p에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 p가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
하는 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 근본적인 질문들

'상호법칙'이란

이차잉여의 상호법칙 에서 가져옴
문제 : 정수계수 다항식 를 $\pmod p$ 로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
인수분해되는 방식에 따라서 소수 가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
라면, 홀수인 소수 에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다

$p\equiv 1,4 \pmod 5$ 인 경우, $f(x) \pmod p$ 는 두 개의 일차식으로 분해됨

$p\equiv 2,3 \pmod 5$ 인 경우, $f(x) \pmod p$ 는 분해되지 않음

이차잉여의 상호법칙

정수 계수 이차 다항식 의 문제
$x^2-a\pmod p$ 가 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
자세한 사항은 이차잉여의 상호법칙 에서 다루기로 함.
이차수체

원분다항식의 상호법칙

상호법칙의 질문에 따라 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
$\Phi_n(x) \pmod p$ 가 어떤 소수 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제

(정리)

$p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ 의 order가 이라 하자. 즉 r이 $p^r=1\pmod n$ 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 $\Phi_n(x) \pmod p$ 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 $\Phi_n(x) \pmod p$ 의 분해는, $p\pmod n$ 에 의해 결정된다.

(증명)

원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 $\Phi_n(x)=f_1f_2\cdot f_l \pmod p$ 를 얻고, f_1 의 차수가 s라고 하자.

$\mathbb{F}_p$ 의 적당한 체확장에서 기약다항식 f_1 의 근 $\alpha$ 를 찾자. 그러면, $\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}$ 을 얻는다.

$f_1(\alpha)=0$ 이므로, $\Phi_n(\alpha)=0$ 이고, 따라서 $\alpha^n=1$ 이다.

유한체 $\mathbb F_{p^s}$ 는 방정식 $x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)$ 의 근으로 구성되므로, $n|{p^s-1}$ 을 얻는다.

그러므로, $s\geq r$ 이다.

이제 $s\leq r$ 임을 보이자. r의 정의로부터, n | p^r-1 임을 안다.

따라서 $\alpha^{p^r-1}=1$ 즉 $\alpha^{p^r}=\alpha$ 가 된다. 이는 $\alpha\in \mathbb F_{p^r}$ 임을 의미한다.

$\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}$ 이므로, $s\leq r$ 이다.

따라서 r=s 임이 증명된다. ■

(따름정리)

$\iff$ $\Phi_n(x) \pmod p$ 는 일차식들로 분해된다

(증명)

위의 정리에서 r=1 인 경우에 해당한다 ■

디리클레 정리와 원분다항식의 상호법칙

이면, $\Phi_n(x) \pmod p$ 는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 $\text{Frob}_p$ 가 체확장 $\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)$ 의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.

프로베니우스의 density 정리에 의하면, $\text{Frob}_p$ 가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 $p\equiv 1 \pmod n$ 가 증명된다.

등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 항목도 참조.

체보타레프 밀도 정리

일반적인 수체

프로베니우스의 밀도 정리

프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리에서 다룸

원분체의 arithmetic

Kronecker-Weber theorem and Ray class field
이차잉여의 상호법칙
디리클레 정리
가우스합

메모

http://math.columbia.edu/~pugin/Teaching/USemBlog_files/CycloRed.pdf

관련된 항목들

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Field_Arithmetic
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

What is a Reciprocity Law?
- B. F. Wyman, The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
Rational Reciprocity Laws
- Emma Lehmer, The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 467-472
Frobenius and his Density theorem for primes
- B. Sury, Springer India, Volume 8, Number 12 / 2003년 12월
- http://www.ias.ac.in/resonance/Dec2003/pdf/Dec2003p33-41.pdf
Polynomials with roots modulo every integer
- Daniel Berend; Yuri Bilu, Journal: Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 1663-1671.

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Last edited on 05/12/2011 02:26 by 피타고라스

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