정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)

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개요

 

 

'상호법칙'이란

 

 

 

이차잉여의 상호법칙

 

 

원분다항식의 상호법칙

 

(정리)

p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times의 order가 r이라 하자. 즉 r이 p^r=1\pmod n 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 \Phi_n(x) \pmod p 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 \Phi_n(x) \pmod p의 분해는, p\pmod n에 의해 결정된다.

 

(증명)

원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 \Phi_n(x)=f_1f_2\cdot f_l \pmod p 를 얻고, f_1의 차수가 s라고 하자.

\mathbb{F}_p의 적당한 체확장에서 기약다항식  f_1의 근 \alpha 를 찾자. 그러면, \mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s} 을 얻는다.

f_1(\alpha)=0 이므로,  \Phi_n(\alpha)=0이고, 따라서 \alpha^n=1 이다.

유한체 \mathbb F_{p^s} 는 방정식 x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1) 의 근으로 구성되므로, n|{p^s-1} 을 얻는다.

그러므로, s\geq r 이다.

이제 s\leq r 임을 보이자. r의 정의로부터, n | p^r-1  임을 안다.

따라서 \alpha^{p^r-1}=1 즉 \alpha^{p^r}=\alpha 가 된다. 이는 \alpha\in \mathbb F_{p^r} 임을 의미한다.

\mathbb F_p[x]/(f_1)\simeq \mathbb F_p(\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s} 이므로, s\leq r 이다.

따라서  r=s 임이 증명된다. ■

 

(따름정리)

n | p-1  \iff  \Phi_n(x) \pmod p는 일차식들로 분해된다

(증명)

위의 정리에서 r=1인 경우에 해당한다   ■

 

 

디리클레 정리와 원분다항식의 상호법칙

프로베니우스의 density 정리에 의하면, \text{Frob}_p가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 p\equiv 1 \pmod n 가 증명된다.

 

 

체보타레프 밀도 정리

 

프로베니우스의 밀도 정리

 

 

원분체의 arithmetic

 

 

메모

 

 

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