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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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n차원 공의 부피

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

  • 반지름 r인 n차원 공(n-ball)이란, n차원 유클리드 공간에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..

    • x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2
    • 1차원 공= [-r,r]
    • 2차원 공 = 반지름 r인 원판
  • 1차원 공의 부피는 2r
  • 2차원 공의 부피는 \pi r^2.
  • 3차원 공의 부피는 \frac{4}{3}\pi r^3.
  • ...

  • n차원 공의 부피는 얼마가 될까? 

    • n이 짝수일 때는, \frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}
    • n이 홀수일 때는, \frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}

    • 일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다

      \large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n

 

 

공식의 유도
  • 반지름 1인 n-차원 공의 부피를 \omega_{n} 라 두자

  • 다음 점화식이 성립한다

    \omega_{n}=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}

    \omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}

(증명)

\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{-1}^{1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ \sqrt{1-x_{n}^2}} dx_{1}\cdots dx_{n-1})dx_{n}

=\int_{-1}^{1} \omega_{n-1} (1-x_{n}^2)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} =\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}

\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2 \leq 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-2}^2\leq\ \sqrt{1-x_{n-1}^2-x_{n}^2}} dx_{1}\cdots dx_{n-2})dx_{n-1} dx_{n}

=\int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1} \omega_{n-2} (1-x_{n-1}^2-x_{n}^2)^{\frac{n-2}{2}}dx_{n-1}dx_{n} = \frac{2\pi}{n}\omega_{n-2} ■

 

 

 

반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열

2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

사전형태의 자료

 

 

관련논문

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Last edited on 12/09/2011 16:25 by 피타고라스

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