n차원 공의 부피

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n차원 공의 부피

개요

반지름 r인 n차원 공(n-ball)이란, n차원 유클리드 공간에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
- $x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2$
- 1차원 공= [-r,r]
- 2차원 공 = 반지름 r인 원판
1차원 공의 부피는
2차원 공의 부피는 $\pi r^2$ .
3차원 공의 부피는 $\frac{4}{3}\pi r^3$ .
...
n차원 공의 부피는 얼마가 될까?
- n이 짝수일 때는, $\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}$
- n이 홀수일 때는, $\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}$
- 일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다
  
  $\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n$

공식의 유도

반지름 1인 n-차원 공의 부피를 $\omega_{n}$ 라 두자
다음 점화식이 성립한다

$\omega_{n}=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}$

$\omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}$

(증명)

$\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{-1}^{1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ \sqrt{1-x_{n}^2}} dx_{1}\cdots dx_{n-1})dx_{n}$

$=\int_{-1}^{1} \omega_{n-1} (1-x_{n}^2)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} =\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}$

$\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2 \leq 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-2}^2\leq\ \sqrt{1-x_{n-1}^2-x_{n}^2}} dx_{1}\cdots dx_{n-2})dx_{n-1} dx_{n}$

$=\int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1} \omega_{n-2} (1-x_{n-1}^2-x_{n}^2)^{\frac{n-2}{2}}dx_{n-1}dx_{n} = \frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}$ ■

반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열

$2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots$

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반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열

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