자코비 세타함수

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자코비 세타함수

개요

세타함수의 정의 (spectral decomposition of heat kernel)

$\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}$ , $q=e^{2\pi i \tau}$ , $x=e^{\pi i \tau}$

$\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}$

$\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}$

자코비는 이를 통하여 타원함수론을 전개
응용으로 자코비의 네 제곱수 정리, 퐁슬레의 정리 등의 증명에 사용됨
모듈라 형식(modular forms)의 예
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind), 타원적분의 singular value k와 밀접한 관계를 가짐

$K(k(\tau)) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(\tau)$

$k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}$

많이 사용되는 또다른 정의

전통적인 세타함수

$\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}$
현대의 수학문헌에서는 다음과 같은 함수도 같은 이름으로 자주 사용됨

$\Theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{2\pi i n^2\tau}$ , $q=e^{2\pi i \tau}$

$\Theta(\tau)$ 는 $\Gamma_0(4)$ 에 대한 모듈라 형식이 됨

$\Gamma_0(4) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} {*} & {*} \\ 0 & {*} \end{pmatrix} \pmod{4} \right\}$

여러가지 공식들

$\theta_2^4(q)+\theta_4^4(q)=\theta_3^4(q)$

$\theta_3^2(q^2)+\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)$

$\theta_3^2(q^2)-\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)$

세타함수의 모듈라 성질

(정리)

$\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})=\sqrt{-i\tau}\theta({\tau})$

여기서 $-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}$ 이 되도록 선택

(증명)

포아송의 덧셈 공식을 사용한다.

$\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)$

$f(x)=e^{\pi i x^2\tau$ 의 푸리에 변환은 다음과 같이 주어진다.

$\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{\xi^2}{\tau}$

$\theta(\tau)= \sum_{\in \mathbb Z} \exp(\pi i n^2\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\sum_{n\in \mathbb Z}e^{-\pi i n^2 \frac{1}{\tau}}=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\theta(-\frac{1}{\tau})$ ■

$\tau=iy, y>0$ 으로 쓰면, 다음과 같이 표현된다

$\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)$
$\Gamma(2)$ 에 대한 모듈라 형식이 됨

$\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}$

근사공식과 가우스합과의 관계

가 매우 작을 때,

$\theta(iy)\sim \frac{1}{\sqrt{y}}$

(증명)

$\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)$ ■
좀더 일반적으로 유리수근처(cusp)에서, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다

가 짝수인 자연수 p,q에 대하여 가 매우 작을 때,

$\theta(\frac{p}{q}+iy)\sim \frac{1}{q}S(p,q)\frac{1}{\sqrt{y}}$

여기서 는 $S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}$ 가우스합

(정리)

자연수p,q에 대하여 가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.

$\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{q}S(p,q)$

$\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(-\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{q}\overline{S(p,q)}$

(증명)

$\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2(\frac{p}{q}+i\epsilon)}= \sum_{r=0}^{q-1}e^{\pi i p r^2/q} \sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (ql+r)^2}$

위에서 n=ql+r 로 두었음.

따라서,

$\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{q} \sum_{r=0}^{q-1}e^{i\pi p r^2/q} \sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (ql+r)^2} (\sqrt{\epsilon}q)$

여기서 $\Delta{x}=\sqrt{\epsilon}q$ 로 두면,

$\sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (ql+r)^2} ( \sqrt{\epsilon}q)=\sum_{x\in\sqrt{\epsilon}(q\mathbb{Z}+r)}e^{-\pi x^2}\Delta x$

$\epsilon \to 0$ 이면 위의 리만합은 적분으로 수렴하게 된다. 따라서

$\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{q} \sum_{r=0}^{q-1}e^{i\pi p r^2/q} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{1}{q}S(p,q)$ ■

이 정리에 세타함수의 모듈라 성질을 적용하면, 가우스합의 상호법칙을 얻는다

가우스합의 상호법칙

(정리) (가우스합의 상호법칙)

자연수p,q에 대하여 가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.

$\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)$

(증명)

세타함수의 모듈라 성질,

$\theta(-\frac{q}{p}+i\epsilon\frac{q^2}{p^2}+O(\epsilon^2))=\sqrt{\epsilon+\frac{p}{qi}}\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)$ 를 얻을 수 있다.

양변에 $\sqrt{\epsilon}$ 을 곱하여, 극한을 구하면,

좌변은

$\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(-\frac{q}{p}+i\epsilon\frac{q^2}{p^2}+O(\epsilon^2))=\frac{p}{q}\cdot\frac{1}{p}\cdot\overline{S(q,p)}=\frac{1}{q}\overline{S(q,p)}$

우변은

$\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon}\sqrt{\epsilon+\frac{p}{qi}}\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=e^{-\pi i/4}\sqrt{\frac{p}{q}}\cdot \frac{1}{q}S(p,q)$

이 된다. 따라서 다음을 얻는다.

$\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)$ ■

가우스합

세타함수의 삼중곱 정리(triple product)

세타함수의 삼중곱(triple product)

데데킨트 에타함수와의 관계

$\theta(\tau)=\frac{\eta(\tau)^5}{\eta(2\tau)^2\eta(\frac{\tau}{2})^2}$

삼중곱 공식을 이용

$\theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right)$

$q=e^{2\pi i \tau}$ , $x=e^{\pi i \tau}$

데데킨트 에타함수 참조

singular value k와의 관계

$k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}$

$k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}$

타원적분의 singular value k

세타함수와 AGM iteration

$\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3^2(q^2)$

$\sqrt{\theta_3^2(q)\theta_4^2(q)}=\theta_4^2(q^2)$

따라서 $a_n=\theta_3^2(q^{2^n}),b_n=\theta_4^2(q^{2^n})$ 라 하면, a_n, b_n 은 AGM iteration 을 만족하고 $\lim_{n\to\infty}a_n=1$ 이고, $1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))$ 가 된다.