분수와 순환소수

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• 분수와 순환소수

개요

• 유리수 또는 분수를 십진법으로 전개하면, 순환마디를 얻을 수 있다

• 초등정수론에 대해 공부할 수 있는 소재가 풍부한 좋은 수학 문제

  • 순환마디의 길이는 어떻게 결정되는가의 문제 등

• 수학자 가우스가 소년 시절에 이에 대하여 연구하였다

  • 가우스와 순환소수
• 1/n 의 순환소수 전개 목록을 함께 참고

142857의 여러가지 성질

• 142857 X 1 = 142857, 142857 X 2 = 285714, 142857 X 3 = 428571
  142857 X 4 = 571428, 142857 X 5 = 714285, 142857 X 6 = 857142
• 142857 X 7 = 999999
• 142 + 857 = 999
• 14 + 28 + 57 = 99

• 이 성질은 다음 순환소수 전개를 통하여 이해할 수 있다

  

• 142857의 성질과 해설

순환마디의 길이

• 의 순환마디의 길이는 어떻게 결정될까?
• n이 2와 5를 나누지 않는 경우를 생각하자
• 를 만족시키는 가장 작은 자연수 가 순환 마디의 길이가 된다
• 군론의 언어를 사용하면 원소 10의 군  에서의 order가 바로  의 순환마디의 길이가 됨
• 오일러의 totient 함수 의 순환마디의 길이는 를 나누게 된다
• 군 의 정의에 대해서는 합동식과 군론 참조

순환마디를 얻는 과정의 이해

• 를 얻는 나누기 과정

• 주목해서 보아야 하는 것은 위에 나타는 몫 142857 이 아니라, 나누기의 중간 과정에서 7로 나눈 나머지로 등장하는 빨간 줄을 친 수들이다. 
  

  1,3,2,6,4,5, 그리고 1

• 빨간 부분의 숫자가 1로 시작하여, 3,2,6,4,5 를 지나서 1이 다시 나오는 순간, 위의 몫 부분에서는 142857이 다시 반복되게 됨을 관찰할 수 있음
• 따라서 언제 다시 빨간 1이 다시 나오는가가, 순환마디의 길이를 결정하게 된다.
• 빨간 줄 친 숫자들, 1,3,2,6,4,5, 1 가 얻어진 과정의 관찰
• 나누기 과정을 유심히 들여다 보면, 다음과 같은 것을 발견

• 1,3,2,6,4,5, 1 은 바로 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 들을 7로 나눈 나머지이다

cyclic numbers

• Cyclic numbers: primes with primitive root 10.
• cyclic numbers

많이 나오는 질문

• 네이버 지식인

  • http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=순환소수

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 유리수

• 정수

  • 약수와 배수
• 합동식, 잉여류, 원시근, 이차잉여, 이차형식

• 초등정수론

  • 오일러-페르마 정리

• 추상대수학

  • 순환군

관련된 항목들

• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
• 원시근(primitive root)
• p-adic analysis

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=

• 대한수학회 수학 학술 용어집

  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/decimal_fraction

• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=primitive+root
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련도서 및 추천도서

• Higher mathematics from elementary point of view

  • Hans Rademacher
  • Chapter 5. Decimal Fractions (pdf)

관련논문

•  Lawrence Brenton , Remainder Wheels and Group Theory College Mathematics Journal, vol. 39, no. 2, March 2008, pp. 129-135

• The Alluring Lore of Cyclic Numbers

  • Michael W. Ecker, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 14, No. 2 (Mar., 1983), pp. 105-109

• Fractions with Cycling Digit Patterns

  • Dan Kalman, The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2 (Mar., 1996), pp. 109-115

• Repeating Decimals

  • W. G. Leavitt, The College Mathematics Journal, Vol. 15, No. 4 (Sep., 1984), pp. 299-308

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)

  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=순환소수
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=142857
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

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