35 1273

Join this notebook

오일러의 공식 e^{iπ}+1=0

Edit

이 항목의 스프링노트 원문주소

오일러의 공식

개요

$e^{i \pi} +1 = 0$

오일러의 발견
수학에서 가장 아름다운 정리로 여겨지는 것 중 하나.
수학에서 중요한 다섯개의 상수( $0, 1,i, \pi, e$ )와 중요한 세개의 연산(더하기, 곱하기, 거듭제곱)이 함께 등장.
동일한 이름의 (역시 아름다운) 정리로, 다면체에 대한 오일러의 정리가 있음.
복소함수론에서는 복소지수함수를 다음과 같이 정의함.

$e^{ix}=\cos x+ i\sin x$

위의 식에 $x=\pi$ 를 대입하면, 오일러의 공식이 얻어짐.

유추를 통한 유도

우리는 실수 에 대하여, e^x 를 정의할 수 있다. 이제 우리 앞의 과제는 지수 $x$ 를 실수를 넘어 복소수까지 확장하는 것이다.

복소수지수를 정의하기 위해서, 실수범위까지 정의된 지수함수에 대해 복습을 해 보자.

지수함수 f는 다음과 같은 성질들을 만족한다. 이 부분을 눈을 번쩍 뜨고 봐주길 바란다.

1. f(0)=1
2. f(x+y)=f(x)f(y)
3. 는 미분가능

두번째 성질을 지수함수의 가장 중요한 성질로 보존하고 싶다면, 지수함수를 복소수까지 확장하는 데는 다음을 만족시킬 필요가 있다.

$e^{x+iy}=e^x e^{iy}$

따라서, 실수 에 대하여, $e^{ix}$ 를 정의하는 것으로 목표를 좁힐 수 있다.

위에 언급한 지수함수의 성질이 중요한 이유는, 이 세가지 성질이 역으로 지수함수들을 규정하기 때문이다. 다시 말해, 이 세가지 성질을 만족시킬 수 있는 함수는 오직 지수함수 뿐이다. 이 세가지 성질을 만족시키는 함수를 찾으라고 한다면, 어떤 양수 $\alpha$ 가 있어서,

$f(x)={\alpha}^x$

를 만족시키게 된다. 이 경우,

$\ln \alpha=c$ 로 두면, $f(x)={\alpha}^x=e^{cx}$ 가 만족된다.

그리고, 이 지수함수를 미분하게 되면,

$\frac{df}{dx} =ce^{cx}=cf(x)$

가 만족된다.

여기에서 기억해야 할 사실은 단 하나, 모든 지수함수는 $e^{cx}$ 의 형태로 쓸 수 있고, $c$ 는 미분을 할 때, 앞에 상수로 튀어나오는 숫자라는 것이다.

이제 오일러의 공식을 유도하기 위한 모든 준비는 끝났다.

$f(x)=\cos x+ i\sin x$

라고 정의된, 실수 x 를 넣으면 복소수 값을 뱉어내는 함수를 생각해 보자. 이 함수는 다음 성질들을 만족한다.

1. $f(0)=\cos 0+ i\sin 0=1$
2. $f(x)f(y)=(\cos x+ i\sin x)(\cos y+i\sin y)=\cos (x+y)+i \sin (x+y)=f(x+y)$
3. $\cos x,\sin x$ 이 미분가능하므로 역시 미분가능

그저 삼각함수와 허수를 결합시켰을 뿐인데, 지수함수만이 만족시킬수 있는 함수가 신비스럽게도(?) 만들어졌다.

이 함수를 미분해보자.

$\frac{df}{dx} =-\sin x +i \cos x=i(\cos x+ i\sin x)=if(x)$

지수함수를 복소수 범위까지 확장하는데 있어서, 실수범위까지 정의되었던 지수함수가 만족시키는 성질과 미적분학의 규칙들을 보존하고 싶다면, 이제까지의 논의를 통해 우리에게 주어지는 선택지는 단 하나.

$f(x)=\cos x+ i\sin x=e^{ix}$

다시 말해, 실수 에 대하여, $e^{ix}$ 를 정의하고 싶다면, 위에 놓인 선택지가 유일하다는 것이다. 지수함수를 복소수 범위까지 넓히고 싶다면, 이 정의를 따르는 것 말고는 방법이 없다. 그러니 이 정의를 채택하자.

이제 오일러의 공식은 그냥 따라 나오게 된다.

만약, $x=\pi$ 라면,

$f(\pi)=\cos \pi+ i\sin \pi=e^{i\pi}=-1$

따라서,

$e^{i\pi}+1=0$

관련된 수학 분야

복소수 (고딩수학)
복소함수론 (대학수학)

관련된 항목들

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://dx.doi.org/

관련도서

'박사가 사랑한 수식'
- 일본에서 동일한 제목의 소설을 가지고 제작한 영화.
- 박사가 사랑한 수식이란 바로 이 '오일러의 공식'을 가리킴.
오일러가 사랑한 수 e
- 엘리 마오 저/허민 역 | 경문사(박문규)

도서내검색
- http://books.google.com/books?q=
- http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
도서검색
- http://books.google.com/books?q=
- http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
- http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

관련기사

네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

블로그

리만의 제타함수 (7) : 오일러의 공식 - 박사가 사랑한 수식 (피타고라스의 창)
구글 블로그 검색
- http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
네이버 오늘의과학
수학동아
Mathematical Moments from the AMS
BetterExplained

Tags

History

Last edited on 10/24/2011 16:14 by 피타고라스

Comments (0)

Previous Next