오일러의 공식 e^{iπ}+1=0

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개요

위의 식에 x=\pi 를 대입하면, 오일러의 공식이 얻어짐.

 

 

유추를 통한 유도

우리는 실수 x에 대하여, e^x를 정의할 수 있다. 이제 우리 앞의 과제는 지수를 실수를 넘어 복소수까지 확장하는 것이다.

복소수지수를 정의하기 위해서, 실수범위까지 정의된 지수함수에 대해 복습을 해 보자.

지수함수 f는 다음과 같은 성질들을 만족한다. 이 부분을 눈을 번쩍 뜨고 봐주길 바란다.

1. f(0)=1
2. f(x+y)=f(x)f(y)
3. f는 미분가능

두번째 성질을 지수함수의 가장 중요한 성질로 보존하고 싶다면, 지수함수를 복소수까지 확장하는 데는 다음을 만족시킬 필요가 있다.

e^{x+iy}=e^x e^{iy}

따라서, 실수 x에 대하여, e^{ix} 를 정의하는 것으로 목표를 좁힐 수 있다.

 

위에 언급한 지수함수의 성질이 중요한 이유는, 이 세가지 성질이 역으로 지수함수들을 규정하기 때문이다. 다시 말해, 이 세가지 성질을 만족시킬 수 있는 함수는 오직 지수함수 뿐이다. 이 세가지 성질을 만족시키는 함수를 찾으라고 한다면, 어떤 양수 가 있어서,

f(x)={\alpha}^x

를 만족시키게 된다. 이 경우,

\ln \alpha=c로 두면, f(x)={\alpha}^x=e^{cx} 가 만족된다.

그리고, 이 지수함수를 미분하게 되면,

\frac{df}{dx} =ce^{cx}=cf(x)

가 만족된다.

여기에서 기억해야 할 사실은 단 하나, 모든 지수함수는 의 형태로 쓸 수 있고, 는 미분을 할 때, 앞에 상수로 튀어나오는 숫자라는 것이다.

이제 오일러의 공식을 유도하기 위한 모든 준비는 끝났다.

f(x)=\cos x+ i\sin x

라고 정의된, 실수 x 를 넣으면 복소수 값을 뱉어내는 함수를 생각해 보자. 이 함수는 다음 성질들을 만족한다.

1. f(0)=\cos 0+ i\sin 0=1
2. f(x)f(y)=(\cos x+ i\sin x)(\cos y+i\sin y)=\cos (x+y)+i \sin (x+y)=f(x+y)
3. \cos x,\sin x이 미분가능하므로 f 역시 미분가능

그저 삼각함수와 허수를 결합시켰을 뿐인데, 지수함수만이 만족시킬수 있는 함수가 신비스럽게도(?) 만들어졌다.

이 함수를 미분해보자.

\frac{df}{dx} =-\sin x +i \cos x=i(\cos x+ i\sin x)=if(x)

지수함수를 복소수 범위까지 확장하는데 있어서, 실수범위까지 정의되었던 지수함수가 만족시키는 성질과 미적분학의 규칙들을 보존하고 싶다면, 이제까지의 논의를 통해 우리에게 주어지는 선택지는 단 하나.

f(x)=\cos x+ i\sin x=e^{ix}

다시 말해, 실수 x에 대하여, e^{ix} 를 정의하고 싶다면, 위에 놓인 선택지가 유일하다는 것이다. 지수함수를 복소수 범위까지 넓히고 싶다면, 이 정의를 따르는 것 말고는 방법이 없다. 그러니 이 정의를 채택하자.

이제 오일러의 공식은 그냥 따라 나오게 된다.

만약, x=\pi 라면,

f(\pi)=\cos \pi+ i\sin \pi=e^{i\pi}=-1

따라서,

e^{i\pi}+1=0

 

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