생성함수

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생성함수

개요

생성함수(generating function)
수열 $\{a_n\}$ 에 대한 정보를 담는 멱급수
다양한 종류의 생성함수가 있으며 수열의 성질에 따라 적합한 종류의 생성함수를 이용한다
해석적정수론의 중요한 아이디어
수열이라는 이산적인 대상을, 미적분학이라는 연속적인 개념을 이용하는 도구를 통해 다룰수 있게 해줌.
L-함수, 제타함수와 디리클레 급수로 생성함수의 일종으로 이해할 수 있음
확률론에서 확률변수를 다루는데 유용한 도구

생성함수

수열 $\{a_n\}$ 이 주어진 경우,다음과 같은 멱급수함수를 하나 만든다. (유한수열인 경우에는 다항식)

$G(x)= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots$

분할수의 생성함수(오일러 함수)

$\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1}$
분할수를 데데킨트 에타함수의 성질을 통하여 이해할 수 있게 된다

지수생성함수

수열 $\{a_n\}$ 이 주어진 경우,다음과 같은 멱급수함수를 지수생성함수라 한다

$EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!}x^n$

베르누이 수의 생성함수

$\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!}t^n=\frac{t e^{t}}{e^t-1}$
derangement의 생성함수

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}$

디리클레급수

복소수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 디리클레 급수를 다음과 같이 정의

$L(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$
L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목 참조

자코비 세타함수의 경우

자코비 세타함수

$\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}$
주어진 자연수를 여러 제곱의 합으로 표현하는 방법에 유용하게 사용된다
가령 자코비의 네 제곱수 정리의 경우

$\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n$

확률론과 생성함수

probability generating function
moment generating function
characteristic function

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

수열 (고등학교)
일변수미적분학
- 멱급수함수
이산수학
- difference equation

관련된 항목들

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

표준적인 도서 및 추천도서

Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, V. 23)
- Sergei K. Lando
generatingfunctionology
- Herbert S. Wilf,
- PDF 파일 다운받기 : http://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html

관련논문과 에세이

An Interesting Use of Generating Functions
- Aron Pinker, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 6, No. 4 (Dec., 1975), pp. 39-45

블로그

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