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07_점화식

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개요
  • 점화식 : 수열의 여러항들이 만족시키는 관계
  • 점화식이 만족하는 수열의 일반항을 알아 내는 문제 등
  • 보통의 경우 초기항이 주어져야 완전한 답을 낼 수 있다.

 

 

기본적인 점화식:
  • a_{n+1} - a_n = c : 등차수열
  • a_{n+1} / a_n = c : 등비수열
  • a_{n+1} - a_n = b_n : 위의 <계차수열> 참고.
  • a_{n+1} / a_n = b_n : 계차수열을 통한 풀이에서, <모든 항을 더하>지 않고 <모든 항을 곱하>면 됨.

 

 

기본 점화식의 응용

  • a_{n+1} = ka_n + c

    • 양변에 적당한 상수를 더하면 (a_{n+1} + p)= k(a_n + p) 꼴로 만들 수 있다.
    • 일반항이 (a_n + p) 인 수열은 공비 k 인 등비수열, a_n + p =(a_1 + p) k^{n-1}

    • 적당한 상수 p 는 어떻게 찾냐고? 생각해 볼 것.

       

    • ex) a_{n+1} = 2a_{n} + 3, 초기항 1

      양변에 3을 더하면 (a_{n+1} +3 )= 2( a_{n} + 3), 적당한 상수 k 에 대하여 a_{n} + 3 = k 2^n

      초항을 만족시키는 k 값은 2이므로, a_n = 2^{n+1} - 3

 

  • a_{n+1} = ra_n + b_n 꼴의 점화식

    • 양변을 r^{n+1} 로 나눈 후, a_n / r^n 에 대한 점화식을 푸는 것이 한 방법. b_n 이 등비수열인 경우 효과적이다.

    • 양변에 적당히 n 에 대한 식을 더해서 공비 r 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.

      • b_n 이 다항식인 경우, 양변에 b_n 과 같은 차수의 다항식을 (계수를 문자로 두고) 더해서, 등비수열 꼴로 만든 후에 계수 비교를 통해 문자를 찾는다.

         

      • ex ) a_{n+1} = 2a_n + 3n + 5 인 경우, 양변에 pn + q 를 더하면

        a_{n+1} + pn + q = 2a_n + (3+p)n + (5+q)

        우변이 2(a_n+ pn + q) 인 경우에 등비수열이 되니까, 3+p = 2p, \quad 5+q=2q 이므로 p=3, \quad q=5. 그러므로

        a_n + 3n + 5 = k2^n. 초기항이 주어진 경우 k 를 찾을 수 있다.

 

  • 점화식에 덧셈 기호가 없을 때

    • 로그를 취하면 도움이 됨. 로그의 밑은 계산이 간단하도록 적절히 선택하기.

       

    • ex) a_{n+1} = 4a_n^2 : 밑 2 인 로그를 취하면 \log a_{n+1} = 2\log a_n + 2

      이제 \log a_n = b_n에 대한 점화식을 풀면 됨. (양변에 2를 더해서 …)

       

  • 점화식이 분수꼴일때

    • 역수를 취하면 도움이 될 때가 많음. (만능은 아님)

       

    • ex) {a_{n+1}} = \frac{2a_n}{3a_n+1} : 역수를 취하면 \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \frac{1}{a_n} + \frac{3}{2}. 이제 b_n = \frac{1}{a_n} 에 대한 점화식으로 보고 풀면 됨.

       

  • 점화식에 a_n 과 S_n 이 함께 나올 때

    • S_n - S_{n-1}=a_n (n \ge 2) , S_1 = a_1 의 관계를 사용하면 a_n 만의 점화식으로 만들 수 있다.

       

    • ex) a_n = 2 S_n + 3^n 일 때, a_1 = 2 a_1 + 3 이므로 a_1 = -3

      a_{n+1} = 2 S_{n+1} + 3^{n+1} 식과 a_n = 2 S_n + 3^n 식을 빼 주면 a_{n+1} - a_n = 2 a_{n+1} + 2\cdot 3^{n}

      이제부터는 알아서 할 것. 부분합과 일반항이 함께 등장하는 점화식에서는 초기 조건에서 실수를 할 가능성이 높으므로, a_1, a_2, a_3 정도는 점화식으로부터 직접 구해 보는 것이 좋을 것이다. 그리고 구한 일반항 a_n 은 (n \ge 2) 에서만 성립하는 식일 가능성도 있다.

 

 

선형점화식
  • pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0 꼴의 점화식
  • pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n 꼴의 점화식
  • 선형점화식 항목을 참조

 

 

다양한 점화식

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문
  • http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
  • http://dx.doi.org/

 

관련도서 및 추천도서

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Last edited on 08/01/2011 12:36 by 피타고라스

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Comments (2)

  • 꽁오지

    질문이 있는데요. 특성방정식과 점화식의 관계를 대충은 이해를 하겠는데요. 왜 그렇게 생각을 해야 하는지 이유를 알고 싶습니다. ^^

    08/01/2011 12:27
  • 피타고라스

    http://pythagoras0.springnote.com/pages/4873363 를 참고해보세요

    08/01/2011 14:18
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