35 1273

Join this notebook

04_부분합과 급수

Edit

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

부분합 : 수열 에서 새로운 수열 을 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ 로 해서 만들어 낼 수 있다. 이 수열 을 의 <부분합> 이라고 부른다.

즉, : $a_1, a_1 + a_2, \cdots, a_1 + a_2 + a_3, \cdots, a_1 + a_2 + \cdots + a_n, \cdots$

, $n \ge 2$ 일 때 $S_n - S_{n-1} = a_n$ 이므로, 부분합의 일반항을 알면 수열의 일반항을 구할 수 있다.

$\sum_{k=1}^{n} \big( a+(k-1)d \big)= \frac{n \{2a+(n-1)d \} }{2}$ : 등차수열의 부분합
$\sum_{k=1}^{n} \big( ar^{k-1} \big)= \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ : 등비수열의 부분합

에 대한 다항식으로 이루어진 수열의 부분합은 구할 수 있다.

예

$\sum_{k=1}^{n}1 = n$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} k^r = \sum_{p=1}^{r+1} \bigg[ \binom{n+1}{p} \sum_{i=0}^{p-1}(-1)^i \binom{p-1}{i} (p-i-1)^r \bigg]$ (알 필요는 전혀 없음. 이항계수가 나오는 걸 보고 신기해하면 됨.)
- 거듭제곱의 합을 구하는 공식 참조
망원급수(telescopic sum) : 교육 과정 외이나 알아 두면 굉장히 도움이 됨. (외우지 말고 꼴을 익혀 주세요)

$\sum_{k=1}^{n} (a_{k+1} -a_k) = (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2 ) + (a_4 - a_3 ) + \cdots + (a_{n+1} - a_n)\\ = a_{n+1} - a_1 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad$
- 위의 꼴로 수열을 변형시키면 쉽게 부분합을 구할 수 있다.
  - ex) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\big( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \big) = 1 - \frac{1}{n+1}$
  - ex) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}=\sum_{k=1}^{n}\big( \frac{(k+1)-1}{(k+1)!} \big) = \sum_{k=1}^{n} \big(\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} \big) = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$

급수 : 이 무한히 커질 때 부분합 이 어떤 수에 무한히 가까워질 때, 그것을 <급수> 라고 한다. 즉,

$\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}S_n = L$ 이면 의 급수의 값은 이다.

등비급수

등비급수의 예

$\sum_{n=0}^{\infty} e^{-n\pi}=\frac{1}{1-e^{-\pi}}=\frac{e^{\pi}}{e^{\pi}-1}$

이를 이용하면,

$1+2\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n\pi}=\frac{1}{1-e^{-\pi}}=\frac{e^{\pi}+1}{e^{\pi}-1}$

코탄젠트 함수의 푸리에전개

$f(2\tau):=i \cot \pi\tau= 1+2\sum_{n=1}^{\infty}e^{2\pi i n \tau}$

$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix$

$f(i)=i \cot i\frac{\pi}{2} = \coth \frac{\pi}{2} = \frac{e^{\pi} + 1} {e^{\pi} - 1}$

재미있는 사실

네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

수학사연표

메모

관련된 항목들

ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://dx.doi.org/

관련도서 및 추천도서

도서내검색
- http://books.google.com/books?q=
- http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
도서검색
- http://books.google.com/books?q=
- http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
- http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

관련기사

네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=기하급수
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

블로그

구글 블로그 검색
- http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
네이버 오늘의과학
수학동아
Mathematical Moments from the AMS
BetterExplained

History

Last edited on 06/09/2010 03:54 by 피타고라스

Comments (0)

Previous Next