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거듭제곱의 합을 구하는 공식

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개요

1부터 n까지의 k-거듭제곱의 합을 구하는 공식.
베르누이 수를 사용하여 표현가능함

간단한 예

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = {n(n+1) \over 2} = {n^2 + n \over 2}$

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {2n^3 + 3n^2 + n \over 6}$

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left({n^2 + n \over 2}\right)^2 = {n^4 + 2n^3 + n^2 \over 4}$

$1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = {6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n \over 30}$

$1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2 \over 12}$

$1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 = {6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n \over 42}$

베르누이 수

베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.

$\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}$
처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.

, $B_1=-{1 \over 2}$ , $B_2={1\over 6}$ , , $B_4=-\frac{1}{30}$ , , $B_6=\frac{1}{42}$ , $B_8=-\frac{1}{30}$ , $B_{10}=\frac{5}{66}$ , $B_{12}=-\frac{691}{2730}$ , $B_{14}=\frac{7}{6}$

베르누이 다항식

베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다.

$\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}$

좀더 자세히 쓰면

$B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}$

여기서 $B_k$ 는 베르누이 수

처음 몇 베르누이 다항식은 다음과 같다.

$B_0(x)=1$

$B_1(x)=x-1/2$

$B_2(x)=x^2-x+1/6$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}$

계차수열

$\Delta B_n(x)=nx^{n-1}$

거듭제곱의 합

Calculus of Finite differences 의 정리에 의하면, $\Delta F=f$ 인 두 수열에 대하여

$\sum_a^{b-1}f(n)=F(b)-F(a)$

이 성립한다.

이를 베르누이 다항식에 적용하면,

$\sum_0^{n-1}k^r=\frac{1}{r+1}(B_{r+1}(n)-B_{r+1}(0))$

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표준적인 도서 및 추천도서

위키링크

http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula

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- The College Mathematics Journal, Vol. 22, No. 4 (Sep., 1991), pp. 294-300

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- H. W. Gould
- The American Mathematical Monthly, Vol. 85, No. 6 (Jun. - Jul., 1978), pp. 450-467
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- Kenneth S. Williams
- Mathematics Magazine, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1997), pp. 47-50
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- Andrew P. Guinand
- The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 187-195
A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers
- Hans J. H. Tuenter
- The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 3 (Mar., 2001), pp. 258-261

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Last edited on 05/01/2011 06:24 by 피타고라스

Comments (2)

cjackal
B_1=-1/2일 때는 B_i=B_i(0)으로 생각하는건데 베르누이수의 생성함수가 t/e^t-1이 아니라 te^t/e^t-1로 잘못 나와있네요
04/05/2010 23:39
피타고라스
그렇네요. 수정하였습니다. 감사
04/06/2010 00:46

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