거듭제곱의 합을 구하는 공식

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개요

 

 

간단한 예

1 + 2 + 3 + \cdots + n = {n(n+1) \over 2} = {n^2 + n \over 2}

1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = {n(n+1)(2n+1) \over 6} = {2n^3 + 3n^2 + n \over 6}

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \left({n^2 + n \over 2}\right)^2 = {n^4 + 2n^3 + n^2 \over 4}

1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4 = {6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n \over 30}

1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + n^5 = {2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2 \over 12}

1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + n^6 = {6n^7 + 21n^6 + 21n^5 -7n^3 + n \over 42}

 

 

베르누이 수

 

 

베르누이 다항식

베르누이 다항식의 생성함수는 다음과 같이 정의된다.

 

좀더 자세히 쓰면

여기서 는 베르누이 수

 

처음 몇 베르누이 다항식은 다음과 같다.

 

 

 

계차수열

 

 

거듭제곱의 합

Calculus of Finite differences 의 정리에 의하면, 인 두 수열에 대하여

이 성립한다.

 

이를 베르누이 다항식에 적용하면,

 

 

 

 

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