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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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가우스와 정17각형의 작도

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이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 가우스는 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능함을 증명함.
  • 대수적으로, z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있는가의 문제.
  • 이 아이디어를 좀더 간단한 예를 통해 이해하기 위해서는 정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표를 참조
  • 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.

 

 

증명
  • \zeta=e^{2\pi i \over 17}  로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
  • (3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}

  • 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류

    • A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}
    • A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}
    • A_0+A_1= -1, A_{0}A_{1} = -4, A_0>A_1
    • A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} , A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}

  • 이번에는 4로 나눈 나머지에 따라서 분류

    • B_0 = \zeta^{13}+ \zeta^{16}+ \zeta^4 + \zeta^1
    • B_1= \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12}
    • B_2= \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^8 +\zeta^2
    • B_3 =\zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} +\zeta^{6}
    • B_0+B_2=A_0, B_0B_2= -1, B_0>0
    • B_0 = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}, B_2 = \frac{-1 + \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}
    • B_1+B_3=A_1, B_1B_3= -1, B_{1}> 0
    • B_1 = \frac{-1 - \sqrt{17} + \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}, B_3 = \frac{-1 - \sqrt{17} - \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}

  • 이번에는 8로 나눈 나머지에 따라서 분류

    • C_0= \zeta^{16}+ \zeta^1, C_4= \zeta^{13} +\zeta^4, C_0 > C_1
    • C_0+C_4=B_0, C_0C_4=B_1
    • C_0= \frac{B_0+\sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{8}
    • C_4= \frac{B_0 - \sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}

  • 이제 마무리

    • \zeta =\frac{{C_0} + \sqrt{{C_0}^2 - 4}}{2}
    • \cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}

 

 

가우스합과의 관계

  • 참고로 위에서 A_0-A_1 은 가우스합 임을 알 수 있음.

    • \{3, 10, 5, 11, 14, 7, 12, 6\} 는 \pmod {17} 에 대하여 이차비잉여
    • \{9, 13, 15, 16, 8, 4, 2, 1\}는  \pmod {17} 에 대하여 이차잉여
    • 따라서 A_{0}A_{1}를 계산하는 대신에 A_0-A_1=\sqrt{17} 를 활용할 수도 있음.

 

재미있는 사실

 

 

메모

 

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전형태의 자료

 

 

관련도서

 

참고할만한 자료

Tags

가우스,정다각형

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Last edited on 12/09/2011 14:11 by 피타고라스

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