가우스와 정17각형의 작도

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가우스와 정17각형의 작도

개요

가우스는 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능함을 증명함.
대수적으로, $z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0$ 의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있는가의 문제.
이 아이디어를 좀더 간단한 예를 통해 이해하기 위해서는 정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표를 참조

16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.

증명

$\zeta=e^{2\pi i \over 17}$ 로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
$(3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}$
이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
- $A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}$
- $A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}$
- , $A_{0}A_{1} = -4$ ,
- $A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ , $A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$
이번에는 4로 나눈 나머지에 따라서 분류
- $B_0 = \zeta^{13}+ \zeta^{16}+ \zeta^4 + \zeta^1$
- $B_1= \zeta^3 + \zeta^5 + \zeta^{14} + \zeta^{12}$
- $B_2= \zeta^9 + \zeta^{15} + \zeta^8 +\zeta^2$
- $B_3 =\zeta^{10} + \zeta^{11} + \zeta^{7} +\zeta^{6}$
- , ,
- $B_0 = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}$ , $B_2 = \frac{-1 + \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}$
- , , $B_{1}> 0$
- $B_1 = \frac{-1 - \sqrt{17} + \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}$ , $B_3 = \frac{-1 - \sqrt{17} - \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}$
이번에는 8로 나눈 나머지에 따라서 분류
- $C_0= \zeta^{16}+ \zeta^1$ , $C_4= \zeta^{13} +\zeta^4$ ,
- ,
- $C_0= \frac{B_0+\sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{8}$
- $C_4= \frac{B_0 - \sqrt{B_0^2-4B_1}}{2}$
이제 마무리
- $\zeta =\frac{{C_0} + \sqrt{{C_0}^2 - 4}}{2}$
- $\cos \frac{2\pi}{17}= \frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+ \sqrt{68+12\sqrt{17}-4{\sqrt{170+38\sqrt{17}}}} }{16}$

가우스합과의 관계

참고로 위에서 은 가우스합 임을 알 수 있음.
- $\{3, 10, 5, 11, 14, 7, 12, 6\}$ 는 $\pmod {17}$ 에 대하여 이차비잉여
- $\{9, 13, 15, 16, 8, 4, 2, 1\}$ 는 $\pmod {17}$ 에 대하여 이차잉여
- 따라서 $A_{0}A_{1}$ 를 계산하는 대신에 $A_0-A_1=\sqrt{17}$ 를 활용할 수도 있음.

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