타원

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타원

개요

원뿔의 단면에서 얻어지는 원뿔곡선의 하나
이차곡선의 하나이다
타원위의 점들은 어떤 두 점(초점)에서의 거리의 합이 일정하다

타원의 방정식

타원은 이차곡선 의 판별식이 $\Delta=b^2-4ac<0$ 인 경우
타원의 방정식의 표준형
- $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
- 이면 원이다. 이면 가로( 축)로 납작한 타원, 이면 세로로 길쭉한 타원이 된다.
- 두 축 중 긴 것을 장축, 짧은 것을 단축이라 한다.

평행이동, 회전변환에 의해서도 변형해도 여전히 타원이 얻어짐.

$\frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}+\frac{y}{2}\right)^2+\left(-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3} y}{2}\right)^2=1$

타원 둘레의 길이

타원 둘레의 길이 항목 참조

타원내부의 면적

다음과 같이 주어진 타원 내부의 면적은 $\pi a b$ 이다

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1$

(증명)

$\int\int_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1} dxdy$

x=aX , y=bY 로 치환하면, 내부의 면적은 다음 적분으로 주어지게 된다.

$ab \int\int_{{X^2}+{Y^2}\leq 1} dXdY$

따라서 면적은 $\pi a b$ .■

배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

다항식
- 일차식과 이차식
원의 방정식

중요한 개념 및 정리

타원 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (0<b<a)$ 을 고려하자.
초점 $f=\sqrt{a^2-b^2}$ 라 두면, $(\pm f,0)$
이심률 (eccentricity)
- 타원이 원에서 멀어지는 것을 재는 양 .
  
  이심률은 $e=\frac{f}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ 로 주어진다

재미있는 문제

타원 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 에 외접하는 사각형의 최소 넓이는
빛의 반사성 : 한 초점에서 나온 빛은 타원 벽에서 반사되어 다른 초점으로 들어간다.
매개변수표현 : $eq=x=a \cos \theta$ , $eq=y=b \sin \theta$
타원 $eq=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 과 포물선 가 직교하기 위해서는 를 만족하면 된다.

관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

관련있는 다른 과목

물리
- 행성운동
- 지구는 태양의 주위를, 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도로 돌고 있음.
미술
- 원근법
- 원을 바르게 그리려면, 타원으로 그려야 함.

관련된 대학교 수학

블로그

미적분과 인문계(3) : 타원 - 자연, 예술, 인간 (피타고라스의 창)

동영상 강좌

타원 그리는 방법