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이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

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데데킨트 제타함수

\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}

  • d_K를 이차수체 K의 판별식이라 하면, 다음과 같이 두 L-함수의 곱으로 표현가능

    \zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)=\zeta(s)L_{d_K}(s)

    d_K를 나누지 않는 소수 p에 대하여 \chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right) 를 만족시키는 준동형사상 \chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}

    L_{d_K}(s):=L(s, \chi)

  • 일반적인 데데킨트 제타함수에 대해서는 데데킨트 제타함수 참조
  • 디리클레의 class number 공식은 이차수체의 class number와 s=1에서의 \zeta_{K}(s) 의 residue 사이의 관계를 표현

 

 

복소이차수체에 대한 디리클레 class number 공식

(정리) 디리클레 class number 공식
 복소 이차 수체(imaginary quadratic field) K에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}

h_K 는 class number, w_K는 O_K 의 unit group의 크기, d_K는 K의 판별식(discriminant)

L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}

 

(따름정리)

q \geq 2 는 소수라 가정하자.

 

K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q}), q \geq 7 , q \equiv 3 \pmod{4} 인 경우

d_K=-q

\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)

\chi(-1)=-1, 가우스 합은 \tau(\chi)=i\sqrt{q}

디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다

L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}

h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}

 

 

K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})  , q \geq 5 ,  q \equiv 1 \pmod{4} 인 경우

d_K=-4q

\chi(-1)=-1,  가우스 합은 \tau(\chi)=2i\sqrt{q}

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다

L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}

h_K=-\frac{1}{4}\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}

 

 

n \geq 2가 squarefree라 하자.

K=\mathbb{Q}(\sqrt{-n})  의 경우 

n \geq 5 이고 n \equiv 1 \pmod{4} 인 경우, d_K=-4n

\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{n}}

n \geq 7 이고 n \equiv 3 \pmod{4} 인 경우,  d_K=-n

\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{\sqrt{n}}

 

 

증명

A=\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}는 O_K 의 integral basis가 만드는 평행사변형의 면적이라고 하자.

\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}

여기서 a_n 은 norm 이 n인, 모든 ideal의 개수이다.

a_n(C) 는 ideal class C 에서, norm 이 n인 ideal의 개수로 정의하자.

증명의 아이디어

각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다

즉, A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C) 의 크기를 알아보면 된다.

  • principal ideal class C

    • A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)
    • |A_M(C)-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C \sqrt{M}, C는 적당한 상수

  • 다른 아이디얼 클래스 C'

    • A_M(C')=\sum_{n=1}^M a_n(C')
    • |A_M(C')-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C' \sqrt{M} 임을 보일 수 있다.

  • class number의 유한성에 의하여, 적당한 상수 C_K가 존재하여

    |A_M-\frac{\pi h}{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M} 가 성립한다.

다음과 같이 L-급수를 정의하자.

f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}

위에서 얻은 부등식에 의하여, 다음부등식을 얻는다.

|\sum_{n=1}^{M}(a_n-\frac{h\pi}{Aw})|=|A_M-\frac{h\pi }{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}

따라서 

f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s} 는 s > \frac{1}{2} 에서 수렴하고, f(1) 이 존재한다.

s > 1 이면, f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}=\zeta_{K}(s)-\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)

\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\lim_{s\to 1} (s-1)f(s)+\lim_{s\to 1} (s-1)\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)=\frac{h\pi}{Aw}

 

 

실 이차수체에 대한 디리클레 class number 공식

(정리) 디리클레 class number 공식
실 이차 수체(real quadratic field) K에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}

h_K 는 class number, d_K는 K의 판별식(discriminant), \epsilon_K은 fundamental unit

 

 

(따름정리)

실 이차수체 K, d_K=q는 판별식

d_K를 나누지 않는 소수 p에 대하여 \chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right) 를 만족시키는 준동형사상 \chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}

L_{d_K}(s):=L(s, \chi)

L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{q}\sum_{a=1,(a,q)=1}^{q-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}

 

 

(따름정리)

소수 q에 대하여,  K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})

q \geq 5,   q \equiv 1 \pmod{4} 인 경우

2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q}})

q \geq 3,   q \equiv 3 \pmod{4} 인 경우

 

2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q}})

로 주어진다.

 

 

(증명)

q \geq 5,   q \equiv 1 \pmod{4} 인 경우 d_K=q

\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=L_{d_K}(1) 이므로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과

L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=1}^{q-1}(\frac{a}{q})\log(\sin \frac{a\pi}{q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{q}}

q \geq 3,   q \equiv 3 \pmod{4} 인 경우 d_K=4q

 

소수 p \neq 2 , q에 대하여

 

\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과에 의하여

L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{2\sqrt{q}}

 

 (증명끝)

 

 

예

K=\mathbb{Q}(\sqrt{5}), \epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2},  d_K=5, h_K=1

h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{4}(\frac{a}{5})\log(\sin \frac{a\pi}{5}})=1

K=\mathbb{Q}(\sqrt{13}), \epsilon_K=\frac{3+\sqrt{13}}{2},  d_K=13, h_K=1

h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{12}(\frac{a}{13})\log(\sin \frac{a\pi}{13}})=1

 

 

K=\mathbb{Q}(\sqrt{3}), d_K=12, \epsilon_K=2+\sqrt{3}, h_K=1

-\sum_{(a,12)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{12}})=-(\log\sin\frac{\pi}{12}-\log\sin\frac{5\pi}{12}-\log\sin\frac{7\pi}{12}+\log\sin\frac{11\pi}{12})= 2\ln (2+\sqrt{3})=2.6339\cdots

 

K=\mathbb{Q}(\sqrt{7}) , d_K=28, \epsilon_K=8+3\sqrt{7}, h_K=1

-\sum_{(a,28)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{28}})=2\ln (8+3\sqrt{7})=5.53732\cdots

 

 

 

가우스합과 class number
  • 7이상의 소수 p \equiv 3 \pmod{4} 에 대하여 K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p}) 의 class number는 다음과 같다

h_K=-\sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)\frac{a}{p}

 

 

일반화된 class number 공식

(정리) class number 공식

    \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}

 

 

역사

 

 

관련된 항목들

 

 

사전 형태의 자료
  • http://en.wikipedia.org/wiki/

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

관련도서 및 추천도서

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

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Last edited on 05/02/2012 08:41 by 피타고라스

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