이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

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이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

데데킨트 제타함수

이차수체 에 대하여, 데데킨트 제타함수는 다음과 같이 정의됨

$\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}$

를 이차수체 의 판별식이라 하면, 다음과 같이 두 L-함수의 곱으로 표현가능

$\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)=\zeta(s)L_{d_K}(s)$

를 나누지 않는 소수 에 대하여 $\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$ 를 만족시키는 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$

$L_{d_K}(s):=L(s, \chi)$
일반적인 데데킨트 제타함수에 대해서는 데데킨트 제타함수 참조
디리클레의 class number 공식은 이차수체의 class number와 에서의 $\zeta_{K}(s)$ 의 residue 사이의 관계를 표현

복소이차수체에 대한 디리클레 class number 공식

(정리) 디리클레 class number 공식
복소 이차 수체(imaginary quadratic field) 에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

$\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}$

h_K 는 class number, w_K 는 O_K 의 unit group의 크기, d_K 는 의 판별식(discriminant)

$L(1,\chi)=L_{d_K}(1)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}$

(따름정리)

$q \geq 2$ 는 소수라 가정하자.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ , $q \geq 7$ , $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우

d_K=-q

$\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$

$\chi(-1)=-1$ , 가우스 합은 $\tau(\chi)=i\sqrt{q}$

디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다

$L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}$

$h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ , $q \geq 5$ , $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우

d_K=-4q

$\chi(-1)=-1$ , 가우스 합은 $\tau(\chi)=2i\sqrt{q}$

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻은 결과를 이용하면, 다음을 얻는다

$L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}$

$h_K=-\frac{1}{4}\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}(-1)^{\frac{a-1}{2}}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}$

$n \geq 2$ 가 squarefree라 하자.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-n})$ 의 경우

$n \geq 5$ 이고 $n \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우, d_K=-4n

$\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{n}}$

$n \geq 7$ 이고 $n \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우, d_K=-n

$\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{\pi h_K}{\sqrt{n}}$

증명

$A=\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}$ 는 O_K 의 integral basis가 만드는 평행사변형의 면적이라고 하자.

$\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$

여기서 a_n 은 norm 이 인, 모든 ideal의 개수이다.

a_n(C) 는 ideal class 에서, norm 이 인 ideal의 개수로 정의하자.

증명의 아이디어

각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다

즉, $A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)$ 의 크기를 알아보면 된다.

principal ideal class
- $A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)$
- $|A_M(C)-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C \sqrt{M}$ , C는 적당한 상수
다른 아이디얼 클래스
- $A_M(C')=\sum_{n=1}^M a_n(C')$
- $|A_M(C')-\frac{\pi}{Aw}M|\leq C' \sqrt{M}$ 임을 보일 수 있다.
class number의 유한성에 의하여, 적당한 상수 가 존재하여

$|A_M-\frac{\pi h}{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}$ 가 성립한다.

다음과 같이 L-급수를 정의하자.

$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}$

위에서 얻은 부등식에 의하여, 다음부등식을 얻는다.

$|\sum_{n=1}^{M}(a_n-\frac{h\pi}{Aw})|=|A_M-\frac{h\pi }{Aw}M|\leq C_K \sqrt{M}$

따라서

$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}$ 는 $s > \frac{1}{2}$ 에서 수렴하고, f(1) 이 존재한다.

s > 1 이면, $f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-\frac{h\pi}{Aw}) \frac{1}{n^s}=\zeta_{K}(s)-\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)$

$\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\lim_{s\to 1} (s-1)f(s)+\lim_{s\to 1} (s-1)\frac{h\pi}{Aw}\zeta(s)=\frac{h\pi}{Aw}$

실 이차수체에 대한 디리클레 class number 공식

(정리) 디리클레 class number 공식
실 이차 수체(real quadratic field) 에 대하여, 다음 등식이 성립한다.

$\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}$

h_K 는 class number, d_K 는 의 판별식(discriminant), $\epsilon_K$ 은 fundamental unit

(따름정리)

실 이차수체 , d_K=q 는 판별식

d_K 를 나누지 않는 소수 에 대하여 $\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)$ 를 만족시키는 준동형사상 $\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}$

$L_{d_K}(s):=L(s, \chi)$

$L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{\tau(\chi)}{q}\sum_{a=1,(a,q)=1}^{q-1}\bar\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}$

(따름정리)

소수 에 대하여, $K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})$

$q \geq 5$ , $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우

$2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{q}})$

$q \geq 3$ , $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우

$2 h_K \ln \epsilon_K=-\sum_{a=1,(a,4q)=1}^{4q-1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q}})$

로 주어진다.

(증명)

$q \geq 5$ , $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우 d_K=q

$\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=L_{d_K}(1)$ 이므로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과

$L_{d_K}(1)=L(1,\chi)=-\frac{1}{\sqrt{q}}\sum_{a=1}^{q-1}(\frac{a}{q})\log(\sin \frac{a\pi}{q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{q}}$

$q \geq 3$ , $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우 d_K=4q

소수 $p \neq 2 , q$ 에 대하여

$\chi(p)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)$

마찬가지로 디리클레 L-함수 에서 얻어진 결과에 의하여

$L(1,\chi)=-\frac{1}{2\sqrt{q}}\sum_{(a,4q)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{4q}})=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{2\sqrt{q}}$

(증명끝)

예

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ , $\epsilon_K=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ , d_K=5 , h_K=1

$h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{4}(\frac{a}{5})\log(\sin \frac{a\pi}{5}})=1$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{13})$ , $\epsilon_K=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$ , d_K=13 , h_K=1

$h_K =\frac{-1}{{2 \ln \epsilon_K} }\sum_{a=1}^{12}(\frac{a}{13})\log(\sin \frac{a\pi}{13}})=1$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ , d_K=12 , $\epsilon_K=2+\sqrt{3}$ , h_K=1

$-\sum_{(a,12)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{12}})=-(\log\sin\frac{\pi}{12}-\log\sin\frac{5\pi}{12}-\log\sin\frac{7\pi}{12}+\log\sin\frac{11\pi}{12})= 2\ln (2+\sqrt{3})=2.6339\cdots$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{7})$ , d_K=28 , $\epsilon_K=8+3\sqrt{7}$ , h_K=1

$-\sum_{(a,28)=1}\chi(a)\log(\sin \frac{a\pi}{28}})=2\ln (8+3\sqrt{7})=5.53732\cdots$

class number와 unit 은 실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 항목을 참조

가우스합과 class number

7이상의 소수 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 에 대하여 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 의 class number는 다음과 같다

$h_K=-\sum_{a=1}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)\frac{a}{p}$

디리클레 L-함수 항목 참조
이 결과와 순환소수를 결합하면 순환소수와 class number 의 멋진 결과를 얻을 수 있다

일반화된 class number 공식

(정리) class number 공식

$\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}$

역사

수학사연표
1837 - 디리클레가 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리를 증명

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula
http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_zeta_function

http://en.wikipedia.org/wiki/

매스매티카 파일 및 계산 리소스

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Lectures on the Dirichlet Class Number Formula for Imaginary Quadratic Fields
- Tom Weston (personal webpage)
- good introduction to the Dirichlet class number formula for quadratic imaginary fields
Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields
- Dorian Goldfeld, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
[Girstmair94]A "Popular" Class Number Formula Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001
On Dirichlet's class number formula
- HLS Orde, Journal of the London Mathematical Society, 1978

이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식

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예

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역사

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