타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)

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j(\tau)= {E_4(\tau)^3\over \Delta(\tau)}=\frac{(1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n)^3}{q-24q+252q^2+\cdots} =q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\cdots

여기서 q=e^{2\pi i\tau}

E_4(\tau)=1+240\sum_{n>0}\sigma_3(n)q^n= 1+240q+2160q^2+\cdots (아이젠슈타인 급수(Eisenstein series))

(\sigma_3(n)=\sum_{d|n}d^3)

\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2+\cdots

j(\tau)=1728\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}

 

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