3차원 유한회전군의 분류

개요

SO(3) = 2차원 구면의 회전변환으로 이루어진 군
SO(3)의 유한부분군의 분류 문제
- 순환군
- 이면군
- 정사면체의 대칭군 , A4
- 정팔면체(정육면체)의 대칭군 S4
- 정이십면체(정십이면체)의 대칭군 A5

SU(2)의 유한부분군

binary polyhedral groups
binary Tetrahedral groups
- $\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,\tfrac{1}{2}(\pm 1 \pm i \pm j \pm k)\}$
- group of order 24

분류 정리의 증명

$\Gamma$ 를 크기가 n인 3차원 회전군이라 하고, 정다면체의 꼭지점들은 단위구 위에 놓여있다고 가정하자.

각각의 원소에 대하여, 회전축상에 놓인 구면위의 두 점을 극점이라고 부르자.

각 극점 p에 대하여, p를 고정하는 부동부분군은 크기가 $v_p\geq 2$ 인 순환군이 된다.

$\Gamma$ 에 의한 p의 궤도의 집합을 C_p 라 하면, $|C_p|=\frac{n}{v_p}$ 가 된다.

이제 집합 $S=\{(g,p)|g\neq 1\in \Gamma, gp=p\}$ 의 원소의 개수를 두 가지 방법으로 센다.

1) 항등원이 아닌 각각의 원소는 두 개의 극점을 가지므로, |S|=2(n-1)

2) 각각의 극점 p에 대하여, p를 고정하는 항등원이 아닌 원소의 개수는 v_p-1 이므로, $|S|=\sum_{p}(v_p-1)$

극점들을 움직이는 $\Gamma$ 에 의한 궤도 의 크기를 $n_{C}$ 라 하면, 위에서 얻은 두 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$2(n-1)=\sum_{C}n_{C}(v_{C}-1)$

여기서 v_C 는 궤도 의 원소 에 대하여 v_p 를 뜻하고, 이는 궤도 안의 모든 점에 대하여 같은 값을 가지므로 잘 정의되어 있다.

위 식의 양변을 으로 나누면, 다음을 얻는다.

$2-\frac{2}{n}=\sum_{C}(1-\frac{1}{v_{C}})$

$n\geq 2$ 이고, $1\leq 2-\frac{2}{n}< 2$ , $\frac{1}{2}\leq (1-\frac{1}{v_{C}}) < 1$ 이므로, 총 궤도의 개수는 2 또는 3이 된다.

궤도가 2개인 경우

$\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}} \iff 2=\frac{n}{v_{1}}+\frac{n}{v_{2}}=n_1+n_2$

따라서 n_1=n_2=1 을 얻고, 이 경우 $\Gamma$ 는 크기가 n인 순환군이다.

궤도가 3개인 경우

$1+\frac{2}{n}=\frac{1}{v_{1}}+\frac{1}{v_{2}}+\frac{1}{v_{3}}$

$(v_1,v_2,v_3)=(2,2,\frac{2}{n}), (2,3,3), (2,3,4), (2,3,5)$ 를 얻는다.

각각의 경우

관련된 다른 주제들

해밀턴의 사원수

참고할만한 자료

Appendix of the book 'Symmetry'
- Weyl_on_platonic_solids.pdf
- Hermann Weyl's

사전형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/