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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)

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개요

 

 

예
  • 복소해석학의 리만 사상 정리 에 의하면, 아래 그림과 같은 단위원과 별모양(pentagram) 사이에는 전단사 복소해석함수가 존재.

unitdisc.JPGpentagram.JPG

  • 슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings) 은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

f(z)=\int_0^z\frac{(1-z^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+z^5)^{\frac{4}{5}}}dz

 

국소적인 이해
  • 우선 z^{\lambda} 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음

  • \lambda > 0 인 경우에 대해서 먼저 생각해보자

    z^{\lambda}=e^{\lambda \ln z}= e^{\lambda (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\lambda}+\lambda i \arg z)

  • 이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 \arg z이 브랜치를 하나 고정하자

  • z 가 실수라고 하자.

    • z>0  이면 \arg z =0
    • z<0  이면 \arg z =\pi
  • 상반평면이 z^{\lambda} 에 의해 각도가 \lambda \pi인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화
  • \lambda < 0 인 경우

 

 

등각사상으로서의 타원적분

  • 타원적분

    f(z)=\int_0^z\frac{dz}{\sqrt{(z+1)z(z-1)}}

  • 이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 알기 위해 국소적으로 보자면,

    z=-1 근방에서 f(z) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}

    z=0 근방에서 f(z) \approx z^{\frac{1}{2}}

    z=1 근방에서 f(z) \approx (z-1)^{\frac{1}{2}}

 

 

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Last edited on 07/09/2011 05:34 by 피타고라스

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